【数据结构】图论最短路圣器：Floyd算法如何用双矩阵征服负权图？

穿越负权迷雾：Floyd算法如何解锁全图最短路径？​​

大家好，很高兴又和大家见面啦！！！

你是否曾为Dijkstra算法在负权图前折戟而苦恼？这位单源最短路径的王者虽能高效征服正权图，却对负权边束手无策——当图上出现“补贴路径”（负权值）时，Dijkstra的贪心策略将彻底失效！

而今天登场的图灵奖得主​​Floyd算法​​，正为此而生！它用动态规划的三重循环（复杂度O(丨V丨³），以惊人的简洁性完成两大壮举：
1️⃣ ​​暴力破解全源最短路径​​：同时计算图中任意两点的最短距离
2️⃣ ​​完美驾驭负权图​​：轻松化解Dijkstra的致命弱点（除负权环外）

透过递推矩阵的魔法，你将看到：
▸ 初始邻接矩阵如何在中转点催化下层层蜕变（含分步图解）
▸ 路径矩阵如何像侦探般记录关键前驱节点
▸ C语言实现如何用双矩阵破译路径密码
▸ 负权环检测为何是算法必备的安全阀

文末更奉上​​三大算法对决表​​，助你秒选最佳路径方案！​​点击揭开全源最短路径的终极奥秘→​

一、Floyd算法

Floyd算法是由罗伯特·弗洛伊德（Robert·W·Floyd）提出，用于解决所有顶点之间的最短路径问题。

罗伯特·弗洛伊德（Robert·W·Floyd）:

• 1978年图灵奖得主
• 提出了Floyd算法（Floyd-Warshall算法）
• 提出了堆排序算法

1.1 算法思想

Floyd算法使用动态规划的思想，将求解每一对顶点之间的最短路径分解为多个阶段进行求解：

• 对于n个顶点的图G，求任意一对顶点 $V_i->V_j$ 之间的最短路径，可将其分解为以下阶段：
  • 初始阶段：不允许在其它顶点中转，获取各顶点之间的最短路径
  • $V_0$ 阶段：允许在 $V_0$ 中转，再次获取各顶点之间的最短路径
  • $V_1$ 阶段：允许在 $V_0、V_1$ 中转，再次获取各顶点之间的最短路径
  • $\cdots$
  • $V_{n-1}$阶段：允许在 $V_0、V_1、\cdots 、V_{n-1}$ 中转，再次获取各顶点之间的最短路径

为了更好的说明该算法的思想，下面我们以有向图G为例，介绍一下整个算法的执行过程：

在这个图中，包含3个顶点和5条弧：

• ∣ V ∣ = { a , b , c } |V| = \{a, b, c\} ∣V∣={a,b,c}
• ∣ E ∣ = { < a , b , 6 > , < a , c , 13 > , < b , a , 10 > , < b , c , 4 > , < c , a , 5 > } |E| = \{\\<a, b, 6>, <a, c, 13>, \\ <b, a, 10>, <b, c, 4>, \\ <c, a, 5>\\\} ∣E∣={<a,b,6>,<a,c,13>,<b,a,10>,<b,c,4>,<c,a,5>}

在Floyd算法执行的过程中，算法每一次执行，都会递推产生一个 $3$ 阶方阵序列：

• 初始阶段，各顶点之间的路径默认没有中转点：
  • 点 $V_i$ 与点 $V_j$ 之间连通，则从点 $V_i$ 到点 $V_j$ 的弧 $<v_i,v_j>$ 的权值即为这两个顶点之间的路径长度
  • 点 $V_i$ 与点 $V_j$ 之间不连通，则默认这两个顶点之间的路径长度为 $\infty$
  • 初始阶段生成的 $3$ 阶方阵如下所示：

$$初始阶段方阵V^{(-1)}=\left[\begin{array}{cccccccc}& |& a& |& b& |& c& |\\ —& —& —& —& —& —& —& —\\ a& |& 0& |& 6& |& 13& |\\ —& —& —& —& —& —& —& —\\ b& |& 10& |& 0& |& 4& |\\ —& —& —& —& —& —& —& —\\ c& |& 5& |& \infty & |& 0& |\end{array}\right]$$

• $V_0$阶段，各顶点之间借助 $a$ 为中转点，继续查找各顶点之间的最短路径：
  • 点 $a$ 到点 $b$ 借助顶点 $a$ 为中转点，没有更优路径
  • 点 $a$ 到点 $c$ 借助顶点 $a$ 为中转点，没有更优路径
  • 点 $b$ 到点 $a$ 借助顶点 $a$ 为中转点，没有更优路径
  • 点 $b$ 到点 $c$ 借助顶点 $a$ 为中转点，没有更优路径
  • 点 $c$ 到点 $a$ 借助顶点 $a$ 为中转点，没有更优路径
  • 点 $c$ 到点 $b$ 借助顶点 $a$为中转点，存在更优路径 $<c,a,b,11>$
  • $V_0$ 阶段生成的 $3$ 阶方阵如下所示：

$$V_0阶段方阵V^{(0)}=\left[\begin{array}{cccccccc}& |& a& |& b& |& c& |\\ —& —& —& —& —& —& —& —\\ a& |& 0& |& 6& |& 13& |\\ —& —& —& —& —& —& —& —\\ b& |& 10& |& 0& |& 4& |\\ —& —& —& —& —& —& —& —\\ c& |& 5& |& 11& |& 0& |\end{array}\right]$$

• $V_1$阶段，各顶点之间借助 $a$ 为中转点，继续查找各顶点之间的最短路径：
  • 点 $a$ 到点 $b$ 借助顶点 $a、b$ 为中转点，没有更优路径
  • 点 $a$ 到点 $c$ 借助顶点 $a、b$ 为中转点，存在更优路径 $<a,b,c,10>$
  • 点 $b$ 到点 $a$ 借助顶点 $a、b$ 为中转点，没有更优路径
  • 点 $b$ 到点 $c$ 借助顶点 $a、b$ 为中转点，没有更优路径
  • 点 $c$ 到点 $a$ 借助顶点 $a、b$为中转点，没有更优路径
  • 点 $c$ 到点 $b$ 借助顶点 $a、b$为中转点，没有更优路径
  • $V_1$ 阶段生成的 $3$ 阶方阵如下所示：

$$V_1阶段方阵V^{(1)}=\left[\begin{array}{cccccccc}& |& a& |& b& |& c& |\\ —& —& —& —& —& —& —& —\\ a& |& 0& |& 6& |& 10& |\\ —& —& —& —& —& —& —& —\\ b& |& 10& |& 0& |& 4& |\\ —& —& —& —& —& —& —& —\\ c& |& 5& |& 11& |& 0& |\end{array}\right]$$

• $V_2$阶段，各顶点之间借助 $a$ 为中转点，继续查找各顶点之间的最短路径：
  • 点 $a$ 到点 $b$ 借助顶点 $a、b、c$ 为中转点，没有更优路径
  • 点 $a$ 到点 $c$ 借助顶点 $a、b、c$ 为中转点，没有更优路径
  • 点 $b$ 到点 $a$ 借助顶点 $a、b、c$ 为中转点，存在更优路径 $<b,c,a,9>$
  • 点 $b$ 到点 $c$ 借助顶点 $a、b、c$ 为中转点，没有更优路径
  • 点 $c$ 到点 $a$ 借助顶点 $a、b、c$为中转点，没有更优路径
  • 点 $c$ 到点 $b$ 借助顶点 $a、b、c$为中转点，没有更优路径
  • $V_2$ 阶段生成的 $3$ 阶方阵如下所示：

$$V_2阶段方阵V^{(2)}=\left[\begin{array}{cccccccc}& |& a& |& b& |& c& |\\ —& —& —& —& —& —& —& —\\ a& |& 0& |& 6& |& 10& |\\ —& —& —& —& —& —& —& —\\ b& |& 9& |& 0& |& 4& |\\ —& —& —& —& —& —& —& —\\ c& |& 5& |& 11& |& 0& |\end{array}\right]$$

到此为止，我们就完成了该图G中所有顶点之间的最短路径的获取；

1.2 算法逻辑

在上述的过程中，我们不难发现，整个Floyd算法在执行的过程中，实际上就是在维护一个大小为 $|V|\times |V|$ 的二维数组，或者说是图G的邻接矩阵；

为了更加清晰的获取到各点之间的准确路径，我们还可以再增加一个记录路径的矩阵path[][]，该矩阵的功能就是记录从点 $V_i$ 到点 $V_j$ 时途径的中转点，即最短路径中点 $V_j$ 的前驱顶点；

算法的整个执行过程，实际上就是在遍历图G的邻接矩阵，只不过我们需要遍历 $|V|$ 次，每一次遍历都相当于将点 $V_k$ 作为中转点，去查找是否存在更短的路径；

算法的C语言实现如下所示：

void Floyd(AMGraph* g,int*** A,int*** path) {// 创建递推矩阵A与路径矩阵path*A = (int**)calloc(g->ver_num, sizeof(int*));assert(*A);*path = (int**)calloc(g->ver_num, sizeof(int*));assert(*path);for (int i = 0; i < g->ver_num; i++) {(*A)[i] = (int*)calloc(g->ver_num, sizeof(int));assert((*A)[i]);(*path)[i] = (int*)calloc(g->ver_num, sizeof(int));assert((*path)[i]);}// 初始阶段for (int i = 0; i < g->ver_num; i++) {for (int j = 0; j < g->ver_num; j++) {(*A)[i][j] = g->edge_matrix[i][j];// 路径存在，记录当前路径的前驱顶点if (i != j && (*A)[i][j] != INT_MAX) {(*path)[i][j] = i;}// 路径不存在，则初始化为-1else {(*path)[i][j] = -1;}}}// 递推阶段——以点K为中转点for (int k = 0; k < g->ver_num; k++) {// 遍历矩阵for (int i = 0; i < g->ver_num; i++) {for (int j = 0; j < g->ver_num; j++) {// 当前距离大于以点k为中转点的路径长度if ((*A)[i][k] != INT_MAX && (*A)[k][j] != INT_MAX && ((*A)[i][j] > (*A)[i][k] + (*A)[k][j])) {(*A)[i][j] = (*A)[i][k] + (*A)[k][j];	// 更新点i到点j的路径长度(*path)[i][j] = (*path)[k][j];			// 更新该路径上点j的前驱顶点信息}}}}
}

1.3 算法评价

该算法实现的方式其时间复杂度和空间复杂度分别为：

• 时间复杂度：$T(N)=O(|V{|}^3)$
• 空间复杂度：$S(N)=O(|V{|}^2)$

可以看到算法中最主要的时间消耗在于递推的过程：

• 遍历一趟矩阵需要 $O(|V{|}^2)$ 的时间复杂度
• 总共需要遍历 $|V|$ 趟

而算法的主要空间消耗在于对递推矩阵 A[][] 和路径矩阵path[][]的空间上，为了完整的记录所有结点的信息，因此，这两个矩阵的大小均为 $|V{|}^2$

1.4 算法限制

在上述的实现中，并不能完整的展示Floyd算法，主要原因是因为该算法无法处理负权值回路：

在上图中，如果我们要求顶点b到顶点b的最短路径，显然我们每走一次路径 $<b,c,a,b>$ 该带权路径长度就会-2，走的次数越多，该带权路径长度越小，在这种情况下，我们就无法通过Floyd算法正确的得到最短路径，因此我们还需要在算法中加入对负权环的判断：

	// 检测负权环for (int i = 0; i < g->ver_num; i++) {if ((*A)[i][i] < 0) {printf("该图中存在负权环");return;}}

我这里对负权环的处理是采取的打印提示的方式，当然也可以选择别的方式，只要能够对负权环进行一个正确的检测即可。

二、三种算法对比

现在我们已经介绍完了处理最短路径问题的三种算法：BFS、Dijkstra、Floyd，下面我们就从六个维度来对比一下这三个算法的区别：

	BFS	Dijkstra	Floyd
用途	求单源最短路径	求单源最短路径	求各顶点之间的最短路径
无权图	适用	适用	适用
带权图	不适用	适用	适用
带负权值的图	不适用	不适用	适用
带负权值回路的图	不适用	不适用	不适用
时间复杂度	$O(|V{|}^2)$或$O(|V|+|E|)$	$O(|V{|}^2)$或$O(|E|\log |V|)$	$O(|V{|}^3)$

在实际的问题中，我们可以根据自己的需求，选择合适的算法来处理最短路径问题；

🌟结语

通过本文的探索，我们揭开了Floyd算法的神秘面纱：
🔹 三重循环的优雅暴力：以 $O(丨V{丨}^3)$ 时间复杂度征服全源最短路径问题
🔹 动态规划的智慧结晶：通过递推矩阵的巧妙迭代，层层解锁最优路径
🔹 负权图的破壁者：打破Dijkstra算法局限，轻松驾驭负权边（除负权环外）
🔹 双矩阵的完美协奏：A矩阵记录距离，path矩阵回溯路径，实现路径溯源

📚 下一篇预告
在图论的奇妙世界中，我们将迎来新的伙伴：
🔥 《有向无环图：表达式的终极优化引擎》

• 揭秘如何用DAG实现表达式树的重构
• 探索公共子表达式消除的图解法
• 图解拓扑排序如何实现无环表达式优化
• 直击编译器中表达式优化的核心技术！

如果本文助你攻克了最短路径难题：
👉 点击🌟关注 不迷路
💡 点亮❤️【赞】支持创作火花
🗂️ 加入⭐【收藏】构建知识图谱
🔄 举手之劳【转发】，让更多开发者突破算法迷雾

你对Floyd算法还有哪些疑问？欢迎在评论区✍️留下思考，我们一起探讨图论精髓！