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《信号与系统》第 6 章信号与系统的时域和频域特性

news 来源：原创 2025/6/10 7:27:49

6.0 引言

6.1 傅里叶变换的模和相位表示

6.2 线性时不变系统频率响应的模和相位表示

6.2.1 线性与非线性相位

6.2.2 群时延

6.2.3 对数模和相位图

6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性

6.4 非理想滤波器的时域和频域特性讨论

6.5 一阶与二阶连续时间系统

6.5.1 一阶连续时间系统

6.5.2 二阶连续时间系统

6.5.3 有理型频率响应的伯德图

6.6 一阶与二阶离散时间系统

6.6.1 一阶离散时间系统

6.6.2 二阶离散时间系统

6.7 系统的时域分析与频域分析举例

6.7.1 汽车减震系统的分析

6.7.2 离散时间非递归滤波器举例

6.8 小结

6.0 引言

对于一个线性时不变系统来说：

① 利用卷积的时域特性表示；

② 利用系统频率响应的频域特性表示方法。

在线性时不变系统分析中，由于时域中的微分(差分)方程和卷积运算在频域都变成了代数运算，所以利用频域往往特别方便。再说像频率选择性滤波这样一些概念在频域是很容易而且能很直接地被想象到的。然而，在系统设计中，对频域和时域的要求一般都有一些考虑。例如，正如在例4.18和例5.12的一些简单讨论，本章将要详细说明，在一个频率选择性滤波器的单位冲激响应上存在的显著振荡特性可能是我们不希望的，因此需要在一个滤波器的频率选择性上做些牺牲，以满足在单位冲激响应上所要求的容限。

在实际中，类似这样的情况是一个普遍规律，而不是一种个别的例外。因为，在大量的应用中，对于一个系统，既从频域又从时域方面提出或限定了一定的特性要求，而往往这些又是互相矛盾的要求。所以，在系统设计和分析中，将时域特性与频域特性联系起来并给以权衡考虑是很必要的。介绍这些方面的问题和关系就是本章的主题

6.1 傅里叶变换的模和相位表示

正如前几章讨论过的，一般来说，傅里叶变换是复数值的，并且可以用它的实部和虚部，或者用它的模和相位来表示。

连续时间傅里叶变换X(jω)的模-相表示：

离散时间傅里叶变换X(e^jω)的模-相表示:

下面在叙述和说明有关模-相表示的几个问题上，大多数都集中在连续时间情况来讨论，但是这些基本要点对离散时间系统都是同样适用的。

从傅里叶变换综合公式(4.8)来看，X(jω)本身就可以看成信号x(t)的一种分解，即把信号x(t)分解成不同频率的复指数之“和”。事实上，正如4.3.7节讨论过的，|X(jω)|可以看成x(t)的能谱密度；这就是说，|X(jω)|dω/2π 可以认为是信号x(t)中位于频率由ω到 ω+dω 之间这样一个无限小的频带内所占有的能量。因此，模|X (jω)|所描述的是一个信号的基本频率“含量”，也即给出的是组成x(t)的各复指数信号相对振幅的信息。

例如，如果在频率为零附近一个小的频带范围以外|X(jω)| =0，那么x(t)所呈现的仅是相当低的频率振荡。

另一方面，相位角不影响各个频率分量的大小，但提供的是有关这些复指数信号的相对相位信息。由所代表的相位关系对信号x(t)的本质属性有显著的影响，因此一般包含了信号的大量信息。尤其是，依赖于什么样的相位函数，即使模函数保持不变也能得出看上去很不相同的信号。

例如图3.3的船波例子……

作为相位影响的另一个例子，考虑下面的信号：

图3.4曾示出过该信号x(t)在φ1=φ2=φ3=0时的情况。在图6.1中，分别选择了另外几个不同的相位关系，画出了各个相位情况下的x(t)。该图说明，不同的相对相位关系使得到的信号很不相同。

一般来说，X(jω)的相位函数的变化会导致信号x(t)时域特性的改变。在某些情况下，相位失真可能很重要，而在另一些情况下，也可能不重要。例如，听觉系统一个众所周知的特性是对相位相对不灵敏，具体而言，如果某个元音信号的傅里叶变换受到一些失真，而使相位发生变化，但模没有改变，这样虽然在时域中的波形看起来可能会有很大的不同，但这一影响在感觉上是可忽略的。尽管那些影响单个音调信号的轻微相位失真不会导致对整个语音信号的可理解性，但是语言上严重的相位失真肯定就不是那样了。作为一个极端的例子，若x(t)是录制在磁带上的一句话，那么x(-t)就代表把这个句子倒过来放。根据表4.1，假设x(t)是实值信号，那么x(-t)的频谱是

这就是说，一个倒过来放的句子其频谱的模函数与原句子的模函数是一样的，而相位函数则反相。显然，这样的相位变化对录制信号的可理解性会有很大的影响。

说明相位重要性及其影响的第二个例子是在研究图像信号时发现的……

6.2 线性时不变系统频率响应的模和相位表示

连续线性时不变系统的输入和输出的傅里叶变换X(jω)和Y(jω)是由如下关系联系起来的：

其中H(jω)是系统的频率响应，也即系统单位冲激响应的傅里叶变换。
离散线性时不变系统的输入和输出的傅里叶变换X(e^jω)和Y(e^jω)是由如下关系联系起来的：

因此，一个线性时不变系统对输入的作用就是改变信号中每一频率分量的复振幅。

利用模-相表示来看，就能更详细地明了这个作用的性质。具体而言，在连续时间情况下：

在离散时间情况下有完全类似的关系。

从式(6.5)可见，一个线性时不变系统对输入傅里叶变换模特性的作用就是将其乘以系统频率响应的模。因此，|H(jω)|或|H(e^jω)|一般称为系统的增益(gain)。

从式(6.6)可见，由线性时不变系统将输入的相位变化成在它基础上附加了一个相位，因此一般就称为系统的相移(phase shift)。

系统的相移可以改变输入信号中各分量之间的相对相位关系，这样即使系统的增益对所有频率都为常数的情况下，也有可能在输入的时域特性上产生很大的变化。

如果，系统对输入的改变是以一种有意义的方式进行的，那么这种在模和相位上的变化可能都是我们所希望的；则，就是不希望有的。在后一种情况下，式(6.5)和式(6.6)的影响一般称为幅度和相位失真( distortion)。

下面将给出几个概念和方法，以便更完整地了解这些影响。

6.2.1 线性与非线性相位

当相移是ω的线性函数时，相移在时域中的作用就有一个非常直接的解释。考虑频率响应为

的连续时间线性时不变系统，它有单位增益和线性相位，即

如同在例4.15中所指出的，具有这种频率响应特性的系统所产生的输出就是输入的时移，即

在离散时间情况下，当线性相位的斜率是一个整数时，其产生的效果与连续时间情况下是类似的。具体而言，由例5.11可知，具有线性相位函数–ωn0的频率响应e^-jωn0的线性时不变系统所产生的输出就是输入的简单移位，即y[n] =x[n-n0]。

因此，具有整数斜率的线性相位就相应于x[n]一个整数样本的移位。

当相位特性的斜率不是一个整数时，其在时域中的效果就要稍微更复杂一些，这个留待7.5节讨论。大致说来，这一效果是序列值包络的时移，但这些序列值本身可能要改变。

虽然线性相移对一个信号产生的变化是很简单并很容易理解和想象的，但是如果输入信号受到的是一个ω的非线性函数的相移，那么在输入中各不同频率的复指数分量都将以某种方式移位，从而在它们的相对相位上发生变化。当这些复指数再次叠加在一起时，就会得到一个看起来与输入信号有很大不同的信号。

这一点将以连续时间情况为例，用图6.3给予说明……

应该提及的是，在图6.3和图6.4所举的例子中考虑的系统都具有单位增益，这样输入信号傅里叶变换的模通过这些系统时都没有改变。为此，这样的系统一般称为全通(all-pass)系统。一个全通系统的特性是完全由它的相位特性决定的。当然，一般的线性时不变系统H(jω)或H(e^jω)既会在幅度上通过增益|H(jω)|或|H(e^jω)|，也会在相位上(可能线性或不是线性的)给予影响。

6.2.2 群时延

具有线性相位特性的系统有一个特别简单的意义——时移。

事实上，根据式(6.8)和式(6.9)，相位特性的斜率就是时移的大小。也就是说，在连续时间情况下，若，那么系统给出的时移就是-t0，或者等效地说延时t0。类似地，在离散时间情况下，就对应于一个n0的时延。

时延的概念能够很自然地直接推广到包括非线性相位特性的情况。设想想要检查一个连续时间线性时不变系统的相位对于一个窄带输入信号所产生的效果，该窄带输入x(t)的傅里叶变换在以ω=ω0为中心的一个很小的频率范围以外都是零或非常小。将这一频带取得很小，就可以将该系统的相位特性在这个频带内准确地用线性关系来近似，即

这样就有

因此，这个系统对于窄带输入信号傅里叶变换的近似效果就由如下部分组成：

对应于|H(jω)|的幅度成形部分，乘以一个总的恒定复数因子e^-jφ以及对应于延时α秒的线性相移项e^-jωα。

这个时延称为在ω=ω0的群时延(group delay)，因为它代表了以ω=ω0为中心一个很小的频带或很少的一组频率上所受到的有效公共时延。

在每个频率上的群时延就等于在那个频率上相位特性斜率的负值，即群时延定义为

群时延的概念也可直接用到离散时间系统中。下面的例子将说明非线性群时延对一个信号的影响。

……

6.2.3 对数模和相位图

用极坐标形式来展现连续时间和离散时间傅里叶变换和系统频率响应时，对傅里叶变换的模采用对数尺度往往很方便。这样做的主要原因之一可以由式(6.5)和式(6.6)看出，这两式都将一个线性时不变系统输出的模和相位与输入和频率响应的模和相位联系在一起。可以注意到，相位关系是相加的，而模的关系则涉及|H(jω)|和|X(jω)|的相乘。因此，如果傅里叶变换的模是在一个对数幅度尺度上展示的，那么式(6.5)就会有一个相加的关系，即

在离散时间情况下也有完全一样的表示式。

因此，如果有一幅输入的傅里叶变换和一个线性时不变系统频率响应的对数模和相位图，那么输出的傅里叶变换就可以将两者的对数模图相加，相位图相加来得到。同样，由于线性时不变系统级联的频率响应就是各个频率响应的乘积，因此一个级联系统的总频率响应的对数模和相位图就可以分别将相应的各部分系统的图相加而求得。

另外，在一个对数标尺上展现傅里叶变换的模还能在一个较宽的动态范围上将细节显示出来。例如，在线性标尺上，具有很大衰减的频率选择性滤波器阻带内的模特性细节一般是不明显的，而在一个对数标尺上它就非常明显。

一般所采用的对数标尺是以20log10为单位的，称为分贝（dB）。因此，0 dB就对应于频率响应的模等于1，20 dB就对应于10倍的增益，-20 dB相应于衰减0.1，等等。另外，6 dB就近似地对应于2倍增益，记住这个值通常很有用。

对于连续时间系统，采用对数频率坐标也是很通常的，而且是有用的。20log10|H(jω)|和对于log10(ω)的图称为伯德图(Bode)。

图6.8是一个典型的伯德图例子。应该注意，正如4.3.3节所讨论的，如果h(t)是实函数，那么|H(jω)|是ω的偶函数，而是ω的奇函数。由于这个原因，负ω部分的图就是多余的了，它可以立即由正ω部分的图来得到。因此，画出频率响应特性在ω>0对于log10(ω)的图就足够了，如图6.8所示。

在连续时间情况下，应用对数频率坐标有几个优点：

① 它常常可以比线性频率坐标展示宽得多的频率范围。

② 在对数频率坐标上，一种特定的响应曲线的形状不会因频率的加权而改变(见习题6.30)。

③ 对于由微分方程描述的连续时间线性时不变系统来说，对数模对于对数频率的近似图往往很容易通过利用渐近线绘出。6.5节将通过对一阶和二阶连续时间系统建立简单的分段线性近似的伯德图来说明这一点。

正如在这一节曾强调过的，对数坐标往往是有用的而且是重要的。然而，也有许多情况应用线性坐标很方便。例如，在讨论理想滤波器时，频率响应的模在某些频带上是一个非零常数，而在其他频带上则是零，这时线性坐标就更为合适。因此，对傅里叶变换模的表示，既介绍了线性的，又介绍了对数的作图表示，今后将根据使用方便而择其一。

6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性

第3章介绍了频率选择性滤波器：按所选频率响应的线性时不变系统，它几乎没有衰减或很小衰减地通过一个或几个频带范围的信号，而阻止或大大衰减掉在这些频带以外的频率分量。

如同在第3章至第5章所讨论的，在频率选择性滤波的应用中，出现了几个重要的问题，并且这些问题都直接与频率选择性滤波器的特性有关。这一节将从另一角度来看看这样的滤波器及其性质。这里将把注意力集中放在低通滤波器上，对于其他类型的频率选择性滤波器，如高通或带通滤波器，非常类似的一些概念和结果也都成立(见习题6.5，习题6.6，习题6.26和习题6.38)。

第3章已提到，一个连续时间理想低通滤波器具有如下形式的频率响应：

如图6.10(a)所示。同样，一个离散时间理想低通滤波器的频率响应为：

如图6.10(b)所示，它对ω是周期的。由式(6.17)和式(6.18)，或者从图6.10中可以看到，理想低通滤波器具有极好的频率选择性。也就是说，它们无衰减地通过低于截止频率ωc(包括ωc中)的所有频率，而完全阻掉阻带(即高于ωc)内的所有频率。再者，这些滤波器具有零相位特性，所以它们不会引入相位失真。

在6.2节中已经看到，即使信号频谱的模不被系统改变，非线性相位特性也能导致一个信号的时域特性有很大的变化。因此一个模特性如式(6.17)或式(6.18)所示的滤波器，具有非线性相位，在某些应用中还是可能产生一些不希望有的效果。另一方面，在通带内具有线性相位的理想滤波器，如图6.11所示，相对于零相位特性的理想低通滤波器的响应来说，仅引入一个单一的时移。

在例4.18和例5.12中，曾求出过理想低通滤波器的单位冲激(脉冲)响应。对应于式(6.17)滤波器的单位冲激响应是

如图6.12(a)所示。类似地，与式(6.18)所示离散时间理想滤波器对应的单位脉冲响应是

如图6.12(b)所示，其中ωc=T/4。

如果式(6.17)和式(6.18)这两个理想频率响应中的任何一个再附加上线性相位特性，那么单位冲激响应就只是延时一个等于该相位特性斜率的负值的量，对于连续时间单位冲激响应的情况就如图6.13所示。

应当注意，无论是在连续时间还是离散时间情况下，滤波器的通带宽度都是正比于ωc的，而单位冲激响应的主瓣宽度都是正比于1/ωc的。当滤波器的带宽增加时，单位冲激响应就变得愈来愈窄；反之亦然，这个是与在第4章和第5章讨论过的时间和频率之间的相反关系一致的。

连续时间和离散时间理想低通滤波器的单位阶跃响应s(t)和s[n]如图6.14所示。在两种情况下都可以看到，阶跃响应所表现出的几个特性可能都是我们不希望有的。特别是，对于这些滤波器其阶跃响应都有比它们最后稳态值大的超量，并且呈现出称为振铃(ringing)的振荡行为。另外，回忆一下，阶跃响应就是单位冲激响应的积分或求和，即

因为理想滤波器的单位冲激响应其主瓣是从-π/ωc延伸到+π/ωc，所以阶跃响应就在这个时间间隔内其值发生最显著的变化。也就是说，阶跃响应的所谓上升时间( rise time)也就反比于相关滤波器的带宽。这个上升时间也是该滤波器响应时间的一种大致度量。

6.4 非理想滤波器的时域和频域特性讨论

理想滤波器的特性在实际中不一定总是所要求的。例如，在许多滤波问题中，要进行分离的信号不总是位于完全分隔开的频带上。图6.15或许是一种典型的情况，这里两个信号的频谱稍微有些重
叠。在这样一种情况下，或许愿意在两个信号的保真度上进行一些权衡，例如滤波器保留x1(t)，而对x2(t)中的频率分量给予衰减。当过滤具有重叠频谱的混合信号时，我们宁肯希望有一个从通带到阻带具有渐渐过渡特性的滤波器。

另一个原因就是考虑到理想低通滤波器的阶跃响应问题(见图6.14)。在连续时间和离散时间两种情况下，阶跃响应都渐渐地趋近一个等于阶跃值的恒定值。然而，在跳变点附近呈现过冲(超量)和振荡。在某些情况下，这种时域特性是不希望的。

退一步说，即使在某些情况下，需要一个理想的频率选择性滤波器特性，它们也是不可能实现的。例如，根据式(6.18)和式(6.19)及图6.12，很显然理想低通滤波器是非因果的，而当滤波必须实时来完成时，因果性就是一个必要的限制，因此就需要对理想特性进行一个因果的近似。在滤波器特性方面要再进一步考虑，进行一些折中，即实现它的难易程度。一般来讲，若对一个理想频率选择特性愈逼近或实现得愈接近，那么其复杂程度和付出的代价就愈高，而无论该滤波器是用一些什么基本元件构成的。例如，在连续时间情况下的电阻器、电容器和运算放大器等在离散时间情况下如寄存器、乘法器和加法器等。在很多场合下，或许并不需要一个精密的滤波器，往往一个简单的滤波器就足够了。

基于上述原因，非理想滤波器具有很大的实际意义，而且它们的特性常常在频域和时域两方面都用几个参数来标定。首先，由于理想频率选择性滤波器的模特性是不能实现的，或者是不需要的，因此更可取的是在滤波器的通带和阻带特性上容许有某些灵活性，以及相对于理想滤波器的陡峭的过渡带来说，容许在通带和阻带之间有一个渐渐的过渡特性。例如，在低通滤波器情况下，通带内在单位增益上可以有某些偏离；阻带内在零增益上也可以有某些偏离；以及在通带边缘和阻带边缘之间容许有一个过渡带存在。因此，对一个连续时间低通滤波器的特性要求常常是要求滤波器频率响应的模限制在图6.16的非阴影区之内。