振动力学：多自由度系统

文章1介绍了二自由度系统的振动特性，本文研究多自由度系统，给出离散系统的固有振动、自由振动、运动解耦方面的一般性讨论。
（注：本文的前置知识为文章2）

1. 多自由度系统的振动方程

详细讨论参考文章1的第1节，这里仅给出结论。首先，质点系的动能$T$可表示为：
$$T=\frac{1}{2}{\dot{\mathbf{q}}}^{\mathrm{T}}\mathbf{M}\dot{\mathbf{q}}$$
式中，$\mathbf{q}$为广义位移，$\dot{\mathbf{q}}$为广义速度，质量矩阵$\mathbf{M}$为对称阵，且为广义坐标的函数。质点系的势能矩阵形式为：
$$V=\frac{1}{2}{\mathbf{q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{K}\mathbf{q}$$

式中，$\mathbf{K}$为刚度矩阵。考虑更一般的情况，引入耗散函数$D$：
$$D=\frac{1}{2}{\dot{\mathbf{q}}}^{\mathrm{T}}\mathbf{C}\dot{\mathbf{q}}$$

式中，$\mathbf{C}$为阻尼矩阵。因此，离散系统（质点系）的运动微分方程矩阵形式为：
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}}(t)+\mathbf{C}\dot{\mathbf{u}}(t)+\mathbf{K}\mathbf{u}(t)=\mathbf{f}(t)\\ & \mathbf{u}(0)={\mathbf{u}}_0,\dot{\mathbf{u}}(0)={\dot{\mathbf{u}}}_0\end{array}(1.7)$$

式中，$\mathbf{M}$为质量矩阵，$\mathbf{C}$为阻尼矩阵，$\mathbf{K}$为刚度矩阵。$\mathbf{u}$为位移向量，$\mathbf{f}$为激振力向量。给定的初始条件为初始位移${\mathbf{u}}_0$和初始速度${\dot{\mathbf{u}}}_0$。矩阵和向量的阶数取决于系统自由度。

2. 多自由度系统的固有振动

2.1 求固有频率的特征值问题

考虑理想化的无阻尼无外力的多自由度系统，微分方程和初始条件为：
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}}(t)+\mathbf{K}\mathbf{u}(t)=0\\ & \mathbf{u}(0)={\mathbf{u}}_0,\dot{\mathbf{u}}(0)={\dot{\mathbf{u}}}_0\end{array}(3.17)$$

由于单自由度系统的无阻尼自由振动是简谐运动，因此启发人们设想二自由度系统也存在类似的自由振动。将解设为如下形式：
$$\mathbf{u}(t)=\mathbf{\phi }\sin (\omega t+\theta )(3.18)$$

式中，$\mathbf{\phi }$为$N$维振幅向量，$\mathbf{\phi }=[{\phi }_1,{\phi }_2,...,{\phi }_N{]}^{\mathrm{T}}$。将式(3.18)代入式(3.17)，为使解存在，需满足条件：
$$\left(\mathbf{K}-{\omega }^2\mathbf{M}\right)\mathbf{\phi }=0(3.19)$$

还可记为：
$$\left(\mathbf{K}-\lambda \mathbf{M}\right)\mathbf{\phi }=0(3.20)$$

式中$\lambda ={\omega }^2$，这被称为广义特征值问题。标量$\lambda$对应的非零向量$\mathbf{\phi }$称为特征向量，相对应的$\lambda$称为特征值。

使系统有非零解的条件为下述特征方程：
$$\det (\mathbf{K}-\lambda \mathbf{M})=0(3.21)$$

广义特征值问题的一般描述是：从特征方程式(3.21)求特征值${\lambda }_i,(i=1,2,...,N)$，然后将其逐一代入原方程式(3.20)求非零向量${\mathbf{\phi }}_i,(i=1,2,...,N)$，也称为固有振型：
$$\left(\mathbf{K}-{\lambda }_i\mathbf{M}\right){\mathbf{\phi }}_i=0(3.25)$$

现在来看一下${\lambda }_i$的性质：用${\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}},(i=1,2,...,N)$左乘式(3.20)可得：
$${\lambda }_i=\frac{K_i}{M_i}⩾0$$

定义：
$$\begin{gathered} M_i={\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{M}}_i{\mathbf{\phi }}_i>0,(3.22) \\ {K}_i={\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{K}}_i{\mathbf{\phi }}_i⩾0(3.22^{\prime }) \end{gathered}$$

式中的分别为第$i$阶广义质量和第$i$阶广义刚度。上式分别表明$\mathbf{M}$正定、$\mathbf{K}$半正定。于是根据${\omega }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$可将各个固有频率按照大小顺序排列，称为第$i$阶固有频率。

2.2 固有振型的归一化

正如文章1中所指出的，固有振型仅表示各点的相对振幅，即固有振型仅表示各点振幅的比值。为了对固有振型进行同意描述，介绍如下几种归一化（或正交化）方法。
（1）选取各阶特征向量中的绝对值最大的分量${\phi }^{\max }$进行归一化，归一化后的特征向量${\bar{\mathbf{\phi }}}_i={\mathbf{\phi }}_i/{\phi }^{\max }$。
（2）用广义质量归一化，即归一化后的特征向量：
$${\bar{\mathbf{\phi }}}_i=\frac{{\mathbf{\phi }}_{\mathbf{i}}}{\sqrt{M_i}}=\frac{{\mathbf{\phi }}_i}{\sqrt{{\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{M}}_i{\mathbf{\phi }}_i}}(3.27)$$

这些归一化方法各有特色，例如第1中可以直观看出最大振幅位置；第2种则常用于理论分析。

3. 固有振型的重要特性

重点介绍固有振型的正交性和线性无关性。

• 【加权正交性】：如果系统不存在两个同频的固有振动，即单构系统（${\omega }_i^2\ne {\omega }_j^2$，且$i\ne j$），于是得到加权正交关系：
  $${\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{M}{\mathbf{\phi }}_j=0,{\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{K}{\mathbf{\phi }}_j=0,(i\ne j)(3.31)$$

上式说明，互异的固有频率对应的固有振型$\mathbf{\phi }$关于质量矩阵和刚度矩阵加权正交。这是无阻尼系统固有振动最重要的属性，这在连续介质（无限自由度系统）的讨论中也有过论述（文章2），物理意义为，无阻尼系统各阶的固有振动之间能量不相互影响。根据式(3.22)(3.22’)，还可进一步写为：
$${\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{M}{\mathbf{\phi }}_j=M_i{\delta }_{ij},{\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{K}{\mathbf{\phi }}_j=K_i\delta ij,(i\ne j)(3.32)$$

式中，当$i=j$时${\delta }_{ij}=1$，反正为零。用式(3.27)进行归一化，则可简洁地得到：
$${\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{M}{\mathbf{\phi }}_j={\delta }_{ij},{\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{K}{\mathbf{\phi }}_j={\omega }_i^2{\delta }_{ij},(i\ne j)$$

• 【线性无关性】：多自由度系统的固有振型${\mathbf{\phi }}_i,(i=1,2,...,N)$线性无关，即${\sum }_{i=1}^N{a}_i{\mathbf{\phi }}_i=0$成立的唯一条件是所有$a_i=0$。证明如下：通过矩阵$\mathbf{M}$的正交性，利用式(3.22)，有${\sum }_{i=1}^N{a}_i{\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{M}}_i{\mathbf{\phi }}_i=0$，由于前述已证明${\mathbf{\phi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{M}}_i{\mathbf{\phi }}_i>0$，因此必有$a_i=0$。

• 【刚体模态】：刚体运动描述为：
  $${\mathbf{u}}_i(t)={\mathbf{\phi }}_0(a_0+b_{0}t)(3.37)$$

式中的系数$a_0,b_0$是通过初始条件确定的常数，${\mathbf{\phi }}_0$为描述刚体运动时各个质点的相对位移比例，称为刚体运动振型。将刚体运动的解代入振动方程式(3.17)，得到：
$$\mathbf{K}{\mathbf{\phi }}_0=0$$

此方程存在非零解的条件是矩阵$\mathbf{K}$为奇异矩阵（不可逆阵），即$\det \mathbf{K}=0$。

关于刚体模态还可导出下述结论：（1）用${\mathbf{\phi }}^{\mathrm{T}}$左乘上式再乘以因子1/2，${\mathbf{\phi }}^{\mathrm{T}}\mathbf{K}{\mathbf{\phi }}_0/2=弹性势能=0$，可知刚体运动不产生弹性变形能；（2）再将$\mathbf{K}{\mathbf{\phi }}_0=0$代入本征方程式(3.19)，可得$\omega =0$，即刚体运动的固有频率为零。将零固有频率和对应的刚体固有振型一起称为刚体模态。

【固有振型矩阵】：定义固有振型的全部集合为固有振型矩阵（或特征向量矩阵），记为：
$$\mathbf{\Phi }=[{\mathbf{\phi }}_1,{\mathbf{\phi }}_2,...,{\mathbf{\phi }}_N]$$

由于固有振型线性无关性的性质，可知$\mathbf{\Phi }$是可逆阵（$\det \mathbf{\Phi }\ne 0$）。

可类比式(3.32)得到矩阵形式的正交关系式：
$${\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}\mathbf{M}\mathbf{\Phi }={\mathrm{diag}}_{i=1\sim N}{M}_i,{\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}\mathbf{K}\mathbf{\Phi }={\mathrm{diag}}_{i=1\sim N}{K}_i(3.40)$$

用式(3.27)进行归一化，则可简洁地得到：
$${\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}\mathbf{M}\mathbf{\Phi }=\mathbf{I},{\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}\mathbf{K}\mathbf{\Phi }={\mathrm{diag}}_{i=1\sim N}{\omega }_i^2(3.41)$$

4. 运动解耦

首先引入运动的解耦，然后再基于此讨论自由振动。由于有$N$个自由度的多自由度系统的固有振型${\mathbf{\phi }}_i,(i=1,2,...,N)$是线性无关的，因此可以用${\mathbf{\phi }}_i$作为基底描述系统的运动，即${\mathbf{\phi }}_i$张成了一个空间。引入坐标变换（也称为主坐标）：
$$\mathbf{u}=\mathbf{\Phi }\mathbf{q}(3.42)$$

式中的$\mathbf{\Phi }$是固有振型矩阵。$\mathbf{u}$是根据原始振动微分方程中的坐标定义的，称为物理坐标；而$\mathbf{q}$不易直观看出物理含义，称为广义坐标。这种广义坐标并不直观，但是反映了每一固有振型对系统运动的贡献，因此也称为主坐标，可借助主坐标变换实现运动解耦。

将主坐标变换代入运动微分方程式(3.17)，再左乘${\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}$，得到主坐标下的形式为：
$${\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}\mathbf{M}\mathbf{\Phi }\ddot{\mathbf{q}}+{\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}\mathbf{K}\mathbf{\Phi }\mathbf{q}=0\Rightarrow {\mathbf{M}}_q\ddot{\mathbf{q}}(t)+{\mathbf{K}}_q\mathbf{q}(t)=0(3.43)$$

式中，很自然地定义了${\mathbf{M}}_q={\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}\mathbf{M}\mathbf{\Phi }$ 和 ${\mathbf{K}}_q={\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}\mathbf{K}\mathbf{\Phi }$，即主坐标下的质量矩阵${\mathbf{M}}_q$和刚度矩阵${\mathbf{K}}_q$是对角阵，因此式(3.43)已经是独立的$N$个标量函数$q_i(t)$的微分方程，这说明主坐标下的运动是解耦的。解耦的运动恰是它的$N$个固有振动：
$$q_i(t)=a_i\cos {\omega }_{i}t+b_i\sin {\omega }_{i}t,(i=1,2,...,N)(3.45)$$

举个简单的例子，现已知某无阻尼二自由度振动的固有振型矩阵为：
$${\mathbf{\Phi }}_1=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$$

将主坐标变换代入原微分方程式(3.17)，然后左乘${\mathbf{\Phi }}_1$，得到:
$$\{\begin{array}{rl}& 2m{\ddot{q}}_1+2k{q}_1=0\\ & 2m{\ddot{q}}_2+2k(1+2\mu )q_2=0\end{array}$$

这说明二自由度无阻尼系统在主坐标下可完全解耦为两个独立的单自由度无阻尼振动，还可证明这些单自由度振动的固有频率就是对应的原问题的第$i$阶固有频率。

5. 多自由度系统的自由振动

介绍两种导出无阻尼多自由度系统自由振动的方法，第一种属于常规方法，而第二种是主坐标变换的方法则较为深刻。

5.1 第一种方法

若使系统产生第$i$阶固有振动，则初始条件应满足（类似讨论参考文章1中“2.4 模态的概念”这一节）：
$${\mathbf{u}}_i(0)={\mathbf{\phi }}_i\sin {\theta }_i,{\dot{\mathbf{u}}}_i(0)={\mathbf{\phi }}_i{\omega }_i\cos {\theta }_i,(i=1,2,...,N)$$

否则，若上述条件不满足，则系统发生自由振动，且为各阶固有振动的线性组合：
$$\mathbf{u}(t)=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{\mathbf{\phi }}_i\sin ({\omega }_{i}t+{\theta }_i)(3.29)$$

或写为：
$$\mathbf{u}(t)=\sum _{i=1}^N{\mathbf{\phi }}_i\left(a_i\sin {\omega }_{i}t+b_i\sin {\omega }_{i}t\right)(3.30)$$

式中的常数根据初始条件确定，如果使用式(3.29)则常数为${\alpha }_i,{\theta }_i$；如果使用式(3.30)则常数为$a_i,b_i$。

5.2 第二种方法

直接由主坐标下的运动方程式(3.42)(3.45)，可得：
$$\mathbf{u}(t)=\mathbf{\Phi }\mathbf{q}(t)=\mathbf{\Phi }\left[\begin{array}{c}{a}_1\cos {\omega }_{1}t+b_1\sin {\omega }_{1}t\\ a_2\cos {\omega }_{2}t+b_2\sin {\omega }_{2}t\\ ...\\ a_N\cos {\omega }_{N}t+b_N\sin {\omega }_{N}t\end{array}\right](3.46)$$

对给定的初始条件$\mathbf{u}(0)={\mathbf{u}}_0,\dot{\mathbf{u}}(0)={\dot{\mathbf{u}}}_0$，可得：
$${\mathbf{u}}_0=\mathbf{\Phi }\mathbf{a},{\dot{\mathbf{u}}}_0=\mathbf{\Phi }\left[{\mathrm{diag}}_{i=1\sim N}{\omega }_i\right]\mathbf{b}$$

由于固有振型可逆，因此：
$$\mathbf{a}={\mathbf{\Phi }}^{-1}{\mathbf{u}}_0,\mathbf{b}=\left[{\mathrm{diag}}_{i=1\sim N}\frac{1}{{\omega }_i}\right]{\mathbf{\Phi }}^{-1}{\dot{\mathbf{u}}}_0$$

将系数向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$代回式(3.46)，可得：
$$\mathbf{u}(t)=\mathbf{U}(t){\mathbf{u}}_0+\mathbf{V}(t){\dot{\mathbf{u}}}_0(3.50)$$

式中，很自然地定义了$\mathbf{U}(t)=\mathbf{\Phi }\left[{\mathrm{diag}}_{i=1\sim N}\cos {\omega }_{i}t\right]{\mathbf{\Phi }}^{-1}$ 和 $\mathbf{V}(t)=\mathbf{\Phi }\left[{\mathrm{diag}}_{i=1\sim N}\frac{\sin ({\omega }_{i}t)}{{\omega }_i}\right]{\mathbf{\Phi }}^{-1}$。它们分别表示因初始位移和初始速度引起的自由振动。

如果有刚体位移还应叠加式(3.37)的影响，即${\mathbf{u}}_i(t)={\mathbf{\phi }}_0(a_0+b_{0}t)$。胡海岩（2005，P70）给出了一个存在刚体模态的例子。

5.3 关于固有振型函数的计算

在实际应用中，为了避免求计算量较大的${\mathbf{\Phi }}^{-1}$，通常根据正交关系式(3.41)导出${\mathbf{\Phi }}^{-1}$，即：
$${\mathbf{\Phi }}^{-1}={\mathbf{\Phi }}^{\mathrm{T}}\mathbf{M}$$

参考资料

文章1：振动力学：二自由度系统
文章2：振动力学：弹性杆的纵向振动（固有振动和固有频率的概念）
胡海岩. 机械振动基础. 北京航空航天大学出版社. 2005