CQF预备知识：三、微分方程 -- 3.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程详解

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本系列教程为CQF(国际量化金融分析师证书)认证所需的数学预备知识，涵盖所有需要了解的数学基础知识，旨在帮助读者熟悉核心课程所需的数学水平。

教程涵盖以下四个主题：

• 微积分
• 线性代数
• 微分方程
• 概率与统计

3.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程详解

方程基本形式

考虑二阶常系数齐次线性微分方程：

$$Ly=a\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0$$

其中 $a,b,c\in \mathbb{R}$ 且 $a\ne 0$。

特征方程法

采用特征方程法求解，设解的形式为 $y=e^{\lambda x}$，代入原方程得特征方程（辅助方程）：

$$a{\lambda }^2+b\lambda +c=0$$

解的三种情况

根据判别式 $\Delta =b^2-4ac$ 的值，分为三种情况：

1. $\Delta >0$：两个不等实根

   当 $b^2-4ac>0$ 时，特征方程有两个不等实根：

   $${\lambda }_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a},{\lambda }_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}$$

   通解为：

   $$y(x)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+c_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$$

   其中 $c_1,c_2$ 为任意常数。

2. $\Delta =0$：重根

   当 $b^2-4ac=0$ 时，特征方程有重根：

   $$\lambda =-\frac{b}{2a}$$

   通解为：

   $$y(x)=(c_1+c_{2}x)e^{\lambda x}$$

   其中 $c_1,c_2$ 为任意常数。

3. $\Delta <0$：共轭复根

   当 $b^2-4ac<0$ 时，特征方程有一对共轭复根：

   $$\lambda =p\pm iq,p=-\frac{b}{2a},q=\frac{\sqrt{|\Delta |}}{2a}$$

   通解为：

   $$y(x)=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$$

   其中 $A,B$ 为任意常数。

解法依据

1. 指数函数解：$y=e^{\lambda x}$ 满足 $y^{(n)}={\lambda }^n{e}^{\lambda x}$
2. 重根处理：当解不足两个时，乘以 $x$ 可构造新解
3. 复根处理：利用欧拉公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ 化复指数为三角函数

示例分析

示例1：$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }-4y=0$

• 特征方程：${\lambda }^2-3\lambda -4=0$
• 解得：$(\lambda -4)(\lambda +1)=0\Rightarrow {\lambda }_1=4,{\lambda }_2=-1$
• 通解：$y(x)=A{e}^{4x}+B{e}^{-x}$

示例2：$y^{\prime \prime }-8y^{\prime }+16y=0$

• 特征方程：${\lambda }^2-8\lambda +16=0$
• 解得：$(\lambda -4{)}^2=0\Rightarrow \lambda =4$（二重根）
• 通解：$y(x)=(C+Dx)e^{4x}$

示例3：$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+4y=0$

• 特征方程：${\lambda }^2-3\lambda +4=0$
• 解得：$\lambda =\frac{3\pm \sqrt{9-16}}{2}=\frac{3}{2}\pm i\frac{\sqrt{7}}{2}$
• 通解：$y(x)=e^{\frac{3}{2}x}\left(a\cos \frac{\sqrt{7}}{2}x+b\sin \frac{\sqrt{7}}{2}x\right)$

该方法可推广到更高阶常系数齐次线性微分方程，核心是求解特征方程并根据根的类型构造通解。

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