TensorFlow深度学习实战（20）——自组织映射详解

0. 前言

自组织映射 (Self-Organizing Map, SOM) 是一种无监督学习算法，主要用于高维数据的降维、可视化和聚类分析，广泛应用于数据挖掘、模式识别、图像处理等领域。

1. 自组织映射原理

K-means 和主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA) 都可以对输入数据进行聚类，但它们不保持拓扑关系。在本节中，我们将介绍自组织映射 (Self-Organizing Map, SOM)，也称 Kohonen 网络，或 WTU (Winner-Take-All Unit)，由 Teuvo Kohonen 于 1982 年提出，这类方法能够保持拓扑关系。SOM 是一种非常特殊的神经网络，受到人脑一个独特特征的启发，在人类大脑中，不同的感官输入以拓扑顺序的方式表示。与其他神经网络不同，神经元之间不是通过权重连接在一起，而是相互影响学习。SOM 最重要的是，神经元以拓扑方式表示学习到的输入。
在 SOM 中，神经元通常放置在( 1D 或 2D )网格的节点上。虽然也可以使用更高维度，但在实践中很少使用。网格中的每个神经元通过权重矩阵连接到所有输入单元。下图展示了一个具有 6 × 8 (48 个)神经元和 5 个输入的 SOM。在这种情况下，每个神经元将有 5 个元素，从而形成一个大小为 48 × 5 的权重矩阵：

自组织映射 (Self-Organizing Map, SOM) 通过竞争学习来学习，可以视为 PCA 的非线性推广，因此，像主成分分析 (Principal Component Analysis, PCA) 一样，也可以用于降维。
为了实现 SOM，首先需要了解它的工作原理。第一步是将网络的权重初始化为随机值或从输入中随机抽样。每个占据网格空间的神经元将被分配特定的位置，与输入距离最小的神经元称为获胜神经元 (Best Matching Unit, BMU)，通过测量所有神经元的权重向量 $W$ 与输入向量 $X$ 之间的距离实现：
$$d_j=\sqrt{\sum _{i=1}^N(W_{ij}-X_i{)}^2}$$
其中，$d_j$ 是神经元 $j$ 的权重与输入 $X$ 之间的距离，具有最低 $d$ 值的神经元是获胜神经元。
接下来，调整胜者神经元及其邻近神经元的权重，以确保如果下一次输入相同，同一神经元仍然是获胜神经元。
为了决定哪些邻近神经元需要修改，网络使用邻域函数 $\vee )(r)$，通常使用以下邻域函数：
$$\vee (r)=e^{-\frac{d^2}{2{\sigma }^2}}$$
其中，$\sigma$ 是神经元影响范围的时间依赖半径，$d$ 是它与获胜神经元的距离，函数图像如下所示。

邻域函数的另一个重要特性是其半径会随着时间减少。因此，在开始时，许多邻近神经元的权重会修改，但随着网络的学习，最终只有少数神经元的权重(有时是一个或没有)在学习过程中修改。
权重的变化根据以下方程：
$$dW=\eta \wedge (X-W)$$
对所有输入重复迭代以上过程。随着迭代的进行，根据迭代次数逐渐降低学习率和半径。

2. 自组织映射的优缺点

自组织映射 (Self-Organizing Map, SOM) 的计算成本较高，因此对于较大的数据集并不实用。但它们易于理解，并且能够很好地发现输入数据之间的相似性。因此，SOM 被广泛应用于图像分割和在自然语言处理中确定词汇相似性映射。
具体而言，SOM 具有以下优势

• 无监督学习：SOM 是一种无监督学习算法，可以在没有标签的情况下进行数据分析和模式识别
• 能够处理高维数据：SOM 能够将高维数据映射到低维空间，从而帮助我们更好地理解和可视化高维数据
• 数据聚类与模式识别：SOM 可以将相似的数据点映射到网格中相邻的位置，从而实现数据的聚类。由于 SOM 保持了输入数据的拓扑结构，相似的输入数据会被映射到网格中相邻的节点，这使得它在模式识别、异常检测等任务中有着较好的表现
• 自适应性：SOM 在训练过程中能够根据输入数据的分布情况自适应地调整模型结构，能够有效地识别出数据中的重要模式

SOM 的缺点如下：

• 计算复杂度高：SOM 的训练过程需要对每一个输入数据点计算与所有神经元的距离，这使得它在大规模数据集上训练时计算量较大，训练时间较长，尤其是对于高维数据
• 对初始化敏感：SOM 的性能对初始化有一定的依赖，如果初始化的权重分布不合理，可能导致训练结果不理想
• 容易陷入局部最优：SOM 的训练算法具有局部更新的特性，容易陷入局部最优解，尤其是在数据特征复杂或者维度较高时，可能会导致学习过程无法收敛到最优解
• 对噪声敏感：SOM 对数据中的噪声较为敏感，噪声数据可能会导致训练结果失真，从而影响映射效果

3. 使用自组织映射实现颜色映射

自组织映射 (Self-Organizing Map, SOM) 生成的输入空间特征图具有一些有趣的属性：

• 特征图提供了输入空间的良好表示，这一属性可以用于向量量化，从而可以将一个连续的输入空间用SOM表示为一个离散的输出空间
• 特征图是拓扑有序的，即输出网格中神经元的空间位置对应于输入的特定特征
• 特征图还反映了输入空间的统计分布；具有最多输入样本的区域在特征图中占据较大的面积

SOM 的这些特性使其具有许多有趣的应用。在本节中，使用 SOM 将给定的红 (Red, R)、绿 (Green, G) 和蓝 (Blue, B) 像素值聚类到相应的颜色图中。

(1) 首先导入所需的模块：

import tensorflow as tf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import time

(2) 定义 WTU 类。__init__ 函数初始化了 SOM 的各种超参数，包括 2D 网格的维度 (m, n)、输入特征的数量 dim、邻域半径 sigma、初始权重以及拓扑信息：

# Define the Winner Take All units
class WTU(object):def __init__(self, m, n, dim, num_iterations, eta = 0.5, sigma = None):self._m = mself._n = nself._neighbourhood = []self._topography = []self._num_iterations = int(num_iterations) self._learned = Falseself.dim = dimself.eta = float(eta)if sigma is None:sigma = max(m,n)/2.0    # Constant radiuselse:sigma = float(sigma)self.sigma = sigmaprint('Network created with dimensions',m,n)# Weight Matrix and the topography of neuronsself._W = tf.random.normal([m*n, dim], seed = 0)self._topography = np.array(list(self._neuron_location(m, n)))

WTU 类最重要的函数是 training() 函数，使用 Kohonen 算法找到获胜神经元，并根据邻域函数更新权重：

    def training(self,x, i):m = self._mn= self._n # Finding the Winner and its locationd = tf.sqrt(tf.reduce_sum(tf.pow(self._W - tf.stack([x for i in range(m*n)]),2),1))self.WTU_idx = tf.argmin(d,0)slice_start = tf.pad(tf.reshape(self.WTU_idx, [1]),np.array([[0,1]]))self.WTU_loc = tf.reshape(tf.slice(self._topography, slice_start,[1,2]), [2])# Change learning rate and radius as a function of iterationslearning_rate = 1 - i/self._num_iterations_eta_new = self.eta * learning_rate_sigma_new = self.sigma * learning_rate# Calculating Neighbourhood functiondistance_square = tf.reduce_sum(tf.pow(tf.subtract(self._topography, tf.stack([self.WTU_loc for i in range(m * n)])), 2), 1)neighbourhood_func = tf.exp(tf.negative(tf.math.divide(tf.cast(distance_square, "float32"), tf.pow(_sigma_new, 2))))# multiply learning rate with neighbourhood funceta_into_Gamma = tf.multiply(_eta_new, neighbourhood_func)# Shape it so that it can be multiplied to calculate dWweight_multiplier = tf.stack([tf.tile(tf.slice(eta_into_Gamma, np.array([i]), np.array([1])), [self.dim])for i in range(m * n)])delta_W = tf.multiply(weight_multiplier,tf.subtract(tf.stack([x for i in range(m * n)]),self._W))new_W = self._W + delta_Wself._W = new_W

fit() 函数是一个辅助函数，调用 training() 函数并存储质心网格以便于检索：

    def fit(self, X):for i in range(self._num_iterations):for x in X:self.training(x,i)# Store a centroid grid for easy retrievalcentroid_grid = [[] for i in range(self._m)]self._Wts = list(self._W)self._locations = list(self._topography)for i, loc in enumerate(self._locations):centroid_grid[loc[0]].append(self._Wts[i])self._centroid_grid = centroid_gridself._learned = True

然后，定义一些辅助函数用于找到获胜神经元并生成 2D 神经元网格，以及一个将输入向量映射到 2D 网格中相应神经元的函数：

    def winner(self, x):idx = self.WTU_idx,self.WTU_locreturn idxdef _neuron_location(self,m,n):for i in range(m):for j in range(n):yield np.array([i,j])def get_centroids(self):if not self._learned:raise ValueError("SOM not trained yet")return self._centroid_griddef map_vects(self, X):if not self._learned:raise ValueError("SOM not trained yet")to_return = []for vect in X:min_index = min([i for i in range(len(self._Wts))],key=lambda x: np.linalg.norm(vect - self._Wts[x]))to_return.append(self._locations[min_index])return to_return

(3) 定义函数 normalize() 用于对输入数据进行归一化：

def normalize(df):result = df.copy()for feature_name in df.columns:max_value = df[feature_name].max()min_value = df[feature_name].min()result[feature_name] = (df[feature_name] - min_value) / (max_value - min_value)return result.astype(np.float32)

(4) 读取数据 colors.csv，对其进行归一化，数据包含不同颜色的红、绿和蓝通道值：

import pandas as pddf = pd.read_csv('colors.csv')  # The last column of data file is a label
data = normalize(df[['R', 'G', 'B']]).values
name = df['Color-Name'].values
n_dim = len(df.columns) - 1# Data for Training
colors = data
color_names = name

(5) 接下来，创建 SOM 并进行训练：

t = time.time()
som = WTU(30, 30, n_dim, 400, sigma=10.0)
som.fit(colors)
s = time.time() - t
print(s)
# 3820.9206821918488

(6) fit() 函数运行时间稍长，训练完成后，查看模型训练结果：

# Get output grid
image_grid = som.get_centroids()# Map colours to their closest neurons
mapped = som.map_vects(colors)# Plot
plt.imshow(image_grid)
plt.title('Color Grid SOM')
for i, m in enumerate(mapped):plt.text(m[1], m[0], color_names[i], ha='center', va='center',bbox=dict(facecolor='white', alpha=0.5, lw=0))
plt.show()idx, loc = som.winner([0.5, 0.5, 0.5])
print(idx, loc)

可以在 2D 神经元网格中看到颜色映射：

可以看到，类似颜色的获胜神经元彼此靠近。

小结

自组织映射 (Self-Organizing Map, SOM) 是一种无监督学习算法，广泛用于数据的降维、聚类、模式识别等任务。它通过将高维数据映射到低维的网格上，使得相似的样本数据在网格中相邻。

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