对数正态分布LogNormal

如果$\ln X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$，那么$X$服从对数正态分布，它的PDF是：$\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$

图例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm, lognorm# 设置参数
mu = 0.0# 正态分布的均值
sigma = 0.5 # 正态分布的标准差# 生成x轴数据
x_normal = np.linspace(-3, 3, 500)# 正态分布定义域：实数范围
x_lognormal = np.linspace(0.01, 5, 500) # 对数正态定义域：x > 0# 计算PDF
pdf_normal = norm.pdf(x_normal, mu, sigma) # 正态分布PDF
pdf_lognormal = lognorm.pdf(x_lognormal, s=sigma, scale=np.exp(mu))# 对数正态PDF# 绘制图形
plt.figure(figsize=(12, 5))# 子图1：正态分布
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x_normal, pdf_normal, 'b-', lw=2, label=f'N(μ={mu}, σ={sigma})')
plt.title('Normal Distribution PDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend()
plt.grid(True)# 子图2：对数正态分布
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x_lognormal, pdf_lognormal, 'r-', lw=2, label=f'Log-N(μ={mu}, σ={sigma})')
plt.title('Log-Normal Distribution PDF')
plt.xlabel('x (x > 0)')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend()
plt.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()

公式推导

关键在于理解概率密度变换（Probability Density Transformation） 的数学原理。重点解释为什么分母是$x$而不是$\ln x$。

核心问题

已知 $\ln X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$，即 $Y=\ln X$ 服从正态分布，其概率密度函数（PDF）为：

$$f_Y(y)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(y-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right),y\in \mathbb{R}$$

但我们需要的是$X=e^Y$的分布，即$X$的 PDF $f_X(x)$。

概率密度变换的推导

从$Y$到$X$的变换是一个非线性变换（ $X=e^Y$ ），因此需要用到变量替换定理（Change of Variables Theorem）。具体步骤如下：

1. 变换关系

$Y=\ln X$ ，即$X=e^Y$ 。变换的雅可比行列式（Jacobian）为：

$$\left|\frac{dy}{dx}\right|=\frac{1}{x}(\text{ 因为 }y=\ln x⟹dy/dx=1/x)$$

2. PDF变换公式

对于单调变换 $X=g(Y)$，概率密度满足：
$$f_X(x)=f_Y(y)\cdot \left|\frac{dy}{dx}\right|$$

将$y=\ln x$和雅可比行列式代入：
$$f_X(x)=f_Y(\ln x)\cdot \frac{1}{x}$$

3. 代入正态分布PDF

将 $f_Y(y)$ 的表达式代入：

$$f_X(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)\cdot \frac{1}{x}$$

合并后即得到对数正态分布的 PDF：

$$f_X(x)=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right),x>0$$

为什么分母是$x$而不是$\ln x$ ？

关键原因：分母的$x$来自 雅可比行列式$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$，它是对数变换$Y=\ln X$的导数。

如果强行改为$\ln x$ ，会破坏概率密度的积分性质（即 $\int f_X(x)dx=1$），导致分布不合法。

物理意义： $x$是原始变量，而$\ln x$是变换后的变量。PDF 必须反映原始变量的概率密度，因此需要乘以$\frac{1}{x}$来修正缩放比例。

验证积分是否为1

可以验证$f_X(x)$的积分：

$${\int }_0^{\infty }\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)dx=1$$

通过变量替换$u=\ln x，du=\frac{1}{x}dx$ ，积分变为：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-(u-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}du=1$$

这正是标准正态分布的积分性质。

总结

分母的$x$是数学推导的必然结果，源于概率密度变换的雅可比行列式。它保证了$f_X(x)$是一个合法的概率密度函数（积分为1）。若替换为$\ln x$ ，会破坏分布的正确性。