AT_dp_u Grouping 题解

写这个只是为了回忆状压dp（子集dp）一年前学的现在才顿悟。

题意

有$n$只兔子，编号$1$至$n$。

给出二维数组$a_{\mathrm{1...}n,\mathrm{1...}n}$其中$a_{i,j}$表示第$i$只兔子和第$j$只兔子的兼容度，

数据保证$a_{i,j}=0,a_{i,j}=a_{j,i}$。

现在你需要把这$n$只兔子分成若干组，使得每只兔子仅属于一个组。

当分组结束后，对于$1\le i<j\le n$，你将会获得$a_{i,j}$元钱，前提是第$i$只兔子和第$j$只兔子分在了同一组。应该如何分组，才能使得最终赚的钱最多。

输出赚得最多的钱数。

$n\le 18$

思路

看见给出的$n$异常的小，考虑使用状压dp来做。

把最终所有兔子分好组的状态记作$tot=(1111.{.}_{n个1}..1111{)}_2$，那么每一个组看作严格$tot$的子集，全部与起来就是$tot$了。

这不就是背包问题么？只不过要装的是每个状态$s$的严格子集$sub$而已，$sub$的贡献（即兼容度）可以预处理出来。

设$f_s$表示当所有组的状态与起来为$s$时，最大兼容度。$su{m}_s$表示组的集合恰为$s$时的实际兼容度大小。

考虑$\Theta (2^n\cdot n^2)$预处理$sum$数组。典型地，$f$的dp公式可以很好地写出来，只是下标换成集合与其子集了：
$$f_s=\underset{sub\subseteq s}{\max }{f}_{s-sub}+su{m}_{sub}$$

诶，怎么快速枚举$s$的严格子集$sub$呢？

初始时$sub=s$，那么可以强制地把$sub-1$，把最靠后的位置是$1$的地方强变成$0$，再与上$s$，枚举前面的$1$

是不是讲得很迷糊？还是硬枚举$1$个例子吧。（其实就是模拟人最本能的多项枚举策略）

$1111$
$1110$
$1101$
$1100$
$1011$
$1010$
$1001$
$1000$
$0111$
$0110$
$0101$
$0100$
$0011$
$0010$
$0001$

我们可以将不属于$s$的元素看作$0$，属于$s$但不属于$sub$的元素看作$1$，属于$sub$的元素看作$2$。对于每个兔子，都有$3$种可能的状态，所以总时间复杂度是$\Theta (3^n)$

总的时间复杂度$\Theta (2^n\cdot n^2+3^n)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll N=18,inf=0x7f7f7f7f;
ll n,a[N][N];
ll f[1<<N],sum[1<<N];
//f(s):并集为s，最大得分
//sum(s):集合恰为s，实际得分 
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
	scanf("%lld",&a[i][j]);
	for(int s=0;s<(1<<n);s++)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			if(s&(1<<(i-1)))//选了i 
			{
				for(int j=i+1;j<=n;j++)
				if(s&(1<<(j-1)))sum[s]+=a[i][j];//选了j
			}
		}
	}
	for(int s=0;s<(1<<n);s++)
	for(int sub=s;sub;sub=((sub-1)&s))//枚举s的子集sub 
	f[s]=max(f[s],f[s^sub]+sum[sub]);
	printf("%lld",f[(1<<n)-1]);
	return 0;
}