AcWing中01背包问题
在acwing.com中的题，本次为01背包问题【具体视频可通过www.acwing.com/video/214网站观看（ps:是跟着视频中的老师一起写的，并不是原创~~~）】
01背包问题题目：
有N件物品和一个容量是V的背包。每件物品只能使用一次。第i间物品的体积是vi，价值是wi，求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。
输入格式：
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别标识物品数量和背包容积。接下来的N行，每行两个整数vi，wi，用空格隔开，分别标识第i间物品的体积和价值。
输出格式：
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围：
0<N V<=1000
0<vi wi<=1000
输入样式：
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样式：
8
代码
/*
二维动态规划：
f[i][j]表示只看前面i个物品，总体积是j的情况下，总价值最大是多少
result = max(f[n][0~v])
f[i][j]:
1.不选第i个物品，f[i][j] = f[i-1][j]
2.选第i个物品，f[i][j] = f[i-1][j-v[i]]
f[i][j] = max{1.2.}
初始化：f[0][0] = 0
时间复杂度：O（n*m）
*/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010; // 定义常量N，表示物品的最大数量
int n, m; // n表示物品的数量，m表示背包的容量
int f[N][N]; // f[i][j]表示前i个物品在背包容量为j时的最大价值
int v[N], w[N]; // v[i]表示第i个物品的体积，w[i]表示第i个物品的价值
int main() {
cin >> n >> m; // 输入物品的数量和背包的容量
// 输入每个物品的体积和价值
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> v[i] >> w[i];
// 动态规划求解
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历每个物品
for (int j = 0; j <= m; j++) { // 遍历背包的容量
f[i][j] = f[i - 1][j]; // 不选择第i个物品时的最大价值
if (j >= v[i]) // 如果当前背包容量j大于等于第i个物品的体积
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); // 选择第i个物品或不选择，取最大值
}
}
int res = 0;
// 遍历所有可能的背包容量，找到最大价值
for (int i = 0; i <= m; i++)
res = max(res, f[n][i]);
cout << res << endl; // 输出最大价值
return 0;
}代码运行状态： Finished
输入
10 100
5 8
32 47
17 43
7 9
6 4
29 40
2 6
14 31
6 17
1 3
输出
184
标准答案
184
解题思路
-
状态定义：
-
f[i][j]表示前i个物品在背包容量为j时的最大价值。
-
-
状态转移方程：
-
对于每个物品
i，我们有两种选择：-
不选择第
i个物品：此时的最大价值为f[i-1][j]。 -
选择第
i个物品：此时的最大价值为f[i-1][j-v[i]] + w[i]（前提是j >= v[i]）。
-
-
因此，状态转移方程为：
f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−v[i]]+w[i])f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−v[i]]+w[i])
-
-
初始化：
-
f[0][j] = 0，表示没有物品时，背包的最大价值为0。 -
f[i][0] = 0，表示背包容量为0时，最大价值为0。
-
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最终结果：
-
最终的结果是
f[n][m]，即前n个物品在背包容量为m时的最大价值。
-