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动态规划之背包问题

news 来源：原创 2025/5/25 22:56:51

文章目录

0-1背包问题
- 2915.和为目标值的最长子序列的长度
- 494.目标和
完全背包问题
- 322.零钱兑换
- 518.零钱兑换II
多重背包
分组背包

背包问题是动态规划一个很重要的一类题目，主要分为0-1背包问题以及完全背包问题

基础的知识请看另一个博客
动态规划之背包问题

通俗来说，可以这么理解，0-1背包问题，用于求解选择问题，结果存在一个target的限制
- 传统的0-1背包问题，<=target下的最大价值数
- 非连续子数列的=target的最长长度

两层循环，外层循环是我们的nums[i]，也就是可选的商品，内层循环是target也就是对于空间的遍历
属于的是组合问题，要区别于排列问题，要是排列问题，外层循环是空间，内层循环是nums商品

对于这个排列还是组合的问题，请看我的另一博客
动态规划之排列与组合问题

0-1背包和完全背包的问题，总的来说递推公式十分相似，区别在于递推公式
- 0-1背包问题是 $d p [i] [j] = ma x (d p [i - 1] [j], d p [i - 1] [j - w [i]] + v [i])$
- 完全背包问题是 $d p [i] [j] = ma x (d p [i - 1] [j], d p [i] [j - w [i]] + v [i])$
如何理解？
答：在0-1背包问题中，对于选与不选当前的元素nums[i],我们都只需考虑前i-1个物品的情况，所以是max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);但是对于完全背包问题的时候，不选当前的nums[i],我们就是只需考虑前i-1个物品，否则就是得考虑前i个物品的情况，所以是max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i])

0-1背包问题

2915.和为目标值的最长子序列的长度

在这里插入图片描述

思路分析：由于子序列是运行非连续的，并且又是求解的是值为target的最长长度，我们就可以思考，如何缩小化我们的问题？定义dp[i][j]表示前i种商品中，值为j的最长的长度，那么一个dp[i][j]就可以由前面的dp[i-1][j]和dp[i-1][j-nums[i]]+1的较大值转移而来

class Solution:
    def lengthOfLongestSubsequence(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        # dp[i][j] 定义为 前i种物品中，价值为j的方案数
        # 0-1 背包问题 的递推公式 当 j >= nums[i] 的时候， 
        m = len(nums)
        # 典型的一个0-1背包问题
        # 定义dp[i][j] 表示前i个物品中，和为j的最大长度
        # 赋值为负无穷表示无法找到，不能全部都赋值为0
        dp = [[-inf]*(target+1) for _ in range(m+1)]
        # 分为选与不选的问题，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]] 
        # 这个赋值很重要
        dp[0][0] = 0
        for i in range(m):
            for j in range(target+1):
                # 当无法更新的时候，dp的值就是前i-1的时候相同
                if j < nums[i]:
                    dp[i+1][j] = dp[i][j]
                else:
                    # 原本的递推公式 dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-nums[i]]+1)
                    dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-nums[i]]+1)
        return dp[m][target] if dp[m][target] > 0 else -1

494.目标和

在这里插入图片描述

思路分析：这题明面上，要你选择要加的数和减去的数字，实际上你可以通过转化，为只用求解要加上的数字或者要减去的数字为对应转化之后的一个newtarget，然后照着2915.和为目标值的最长子序列的长度一样的思路去做，不过由于这题求解的是方案数，所以对应的递推公式以及初始值不一样

详细的分析参考灵神的分析

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        # 类似于0-1背包问题，求解的是运算结果等于target的表达式的数目
        # 我们可以照常选择正数zheng，那么对应的负数就是sum(nums) - zheng
        # dp[i][j] 定义为前i个数字中，值为j的数目
        # dp[i][j] = dp[i-1][j-nums[i]] + dp[i-1][j+nums[i]] ,计算nums[i]=0也没关系，+，-0算两个表达式
        # 那么dp数组怎么开这个target,原本的困惑，就是选了正数还要管这个target的范围
        # 由式子，选取正数的和为p,要减去的数字和为q,有p+q=s,p-q = target，就可以求解出p与q的值即可
        # 我们只要开的空间等于其中一个即可,也可以去一个绝对值都算上
        s = sum(nums) - abs(target)
        if s<0 or s%2 == 1:
            return 0
        m = s // 2
        n = len(nums)
        dp = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]
        # 赋初值为1，不然后面算不了
        dp[0][0] = 1
        for i in range(n):
            for j in range(m+1):
                if j < nums[i]:
                    dp[i+1][j] = dp[i][j]
                else:
                    # dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]]
                    dp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i][j-nums[i]]
        return dp[n][m]

完全背包问题

322.零钱兑换

在这里插入图片描述

思路分析：这是一个完全背包问题，老样子，由于求解的是最小数目，所以初始值我们设置为float('inf'),然后再初始化dp[0][0]=1

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        # 最少的硬币数目，硬币可以重复选，所以是完全背包问题
        n = len(coins)
        dp = [[float('inf')]*(amount+1) for _ in range(n+1)]
        # 定义递推公式，dp[i][j]表示前i种硬币，组成面值为j的最少硬币数目
        # 当j>= nums[i] 的时候，dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-nums[i]])
        dp[0][0] = 0
        for i in range(n):
            for j in range(amount+1):
                if j < coins[i]:
                    # 原本dp[i][j] = dp[i-1][j]
                    dp[i+1][j] = dp[i][j]
                else:
                    # 原本dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-nums[i]]+1)
                    dp[i+1][j] = min(dp[i][j],dp[i+1][j-coins[i]]+1)
        return dp[n][amount] if dp[n][amount] != float('inf') else -1

518.零钱兑换II

在这里插入图片描述

思路分析：完全背包问题，与322.零钱兑换的区别是，后者求解是最少的硬币数，而本题求解的是 达到amount的方案数，两种问题带来的dp数组的初始值和dp[0][0]的值不一样

当求解的是类似于322.零钱兑换的达到amount的最少硬币数，初始值为float('inf'),dp[0][0]=0
当求解的是类似于518.零钱兑换II的达到amount的方案数,初始值为0,dp[0][0]=1

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        # 区别与零钱兑换I，这个求解的是组合数
        n = len(coins)
        dp = [[0]*(amount+1) for _ in range(n+1)]
        dp[0][0] = 1
        for i in range(n):
            for j in range(amount+1):
                if j < coins[i]:
                    # dp[i][j] = dp[i-1][j]
                    dp[i+1][j] = dp[i][j]
                else:
                    # dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-coins[i]]
                    dp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i+1][j-coins[i]]
        return dp[n][amount]