平移坐标轴 +奇偶性 简化二重积分

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问题描述

我们需要求解一个二重积分，积分区域关于 $x=1$ 和 $y=1$ 对称，圆心为 $(1,1)$，半径为 $\sqrt{2}$。具体来说，积分区域 $D$ 是以 $(1,1)$ 为中心，半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。被积函数是 $x+y$。如何利用奇偶性和平移来简化这个积分的计算？

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初步分析

首先，明确积分区域和被积函数：

• 积分区域 $D$：$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 2$
• 被积函数：$f(x,y)=x+y$

我们的目标是计算：

$$I={\iint }_D(x+y)dxdy$$

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利用平移简化积分

观察到积分区域关于 $(1,1)$ 对称，可以考虑进行坐标平移，将圆心移到原点。设：

$$u=x-1,v=y-1$$

则新的积分区域 $D^{\prime }$ 为：

$$u^2+v^2\le 2$$

被积函数变为：

$$x+y=(u+1)+(v+1)=u+v+2$$

因此，积分变为：

$$I={\iint }_{D^{\prime }}(u+v+2)dudv$$

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利用对称性和奇偶性

我们分别考虑 $u+v$ 和 $2$ 的积分。

1. 积分 ${\iint }_{D^{\prime }}ududv$ 和 ${\iint }_{D^{\prime }}vdudv$

• 被积函数 $u$ 关于 $u$ 是奇函数（即 $u(-u,v)=-u$），而积分区域 $D^{\prime }$ 关于 $u$ 对称（即如果 $(u,v)\in D^{\prime }$，则 $(-u,v)\in D^{\prime }$）。
• 因此，

$${\iint }_{D^{\prime }}ududv=0$$

• 同理，

$${\iint }_{D^{\prime }}vdudv=0$$

2. 积分 ${\iint }_{D^{\prime }}2dudv$

• 这是一个常数函数的积分，等于常数乘以区域的面积。
• 区域 $D^{\prime }$ 是一个半径为 $\sqrt{2}$ 的圆，其面积为：

$$\pi (\sqrt{2}{)}^2=2\pi$$

• 因此：

$${\iint }_{D^{\prime }}2dudv=2\times 2\pi =4\pi$$

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综合结果

将两部分相加：

$$I={\iint }_{D^{\prime }}(u+v)dudv+{\iint }_{D^{\prime }}2dudv=0+4\pi =4\pi$$

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验证：使用极坐标

为了验证我们的结果，可以考虑直接计算原积分。原积分区域 $D$ 是圆心 $(1,1)$，半径 $\sqrt{2}$。使用极坐标：

设：

$$x=1+r\cos \theta ,y=1+r\sin \theta ,r\in [0,\sqrt{2}],\theta \in [0,2\pi ]$$

雅可比行列式为 $r$，被积函数：

$$x+y=2+r\cos \theta +r\sin \theta$$

积分变为：

$$I={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\sqrt{2}}(2+r\cos \theta +r\sin \theta )\cdot rdrd\theta$$

分开积分：

$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\sqrt{2}}2rdrd\theta =2\times \text{Area}=4\pi$$

$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\sqrt{2}}{r}^2\cos \theta drd\theta =\left({\int }_0^{\sqrt{2}}{r}^{2}dr\right)\left({\int }_0^{2\pi }\cos \theta d\theta \right)={\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^{\sqrt{2}}\cdot 0=0$$

3. 同理，

$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\sqrt{2}}{r}^2\sin \theta drd\theta =0$$

因此，

$$I=4\pi$$

与之前的结果一致。

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总结

通过平移将圆心移至原点，利用对称性和奇偶性，可以简化积分的计算。具体步骤如下：

1. 进行坐标平移 $u=x-1$, $v=y-1$，将圆心移至原点。

2. 被积函数 $x+y$ 变为 $u+v+2$。

3. 利用对称性：

   • $u$ 和 $v$ 在对称区域上的积分为零。
   • 常数 $2$ 的积分为 $2\times \text{Area}=4\pi$。

4. 因此，原积分 $I=4\pi$。

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最终答案

$$\boxed{{\iint }_D(x+y)dxdy=4\pi }$$

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