6.1 数学复习笔记 23

今天的计划是把线代讲义 3 4 章例题，还有练习册第 3 章写完。心里非常不踏实。做数学题的时候，计算过程可能是不会出现在答题卡上面的东西，但是要是算不对就废完了。

向量组等价要求三秩相等，矩阵等价要求同型并且秩相等。 算三个秩相等，让一个向量组的秩和增广向量组的秩相等，然后再引入中间的向量组的秩进行检验，但是假设前面一步已经求出唯一的答案了，应该就可以了。只要确保计算没有出现错误。

加了一个考研群，里面有个人一直吹牛，别人都不理他，我猛然意识到我们吹捧别人有多厉害的时候，还得看一下自己，是，我自己感觉自己要废掉了呢。

background music : 《有心失联》，我的音乐品味就是华语温柔女声，粤语歌，Eason 的还有几个非常大粉丝量的男歌手的感觉也很好听。下面开始写讲义第四章的例题。化为行最简需要阶梯口的第一个元素上面的元素都是零。这里有一个技巧就是广义行最简就可以了。就是说可以对上面的行，做一个乘法，让出现最小公倍数，方便计算。就可以了。

非齐次方程的解就是通解加上一个特解，通解就是齐次方程的解，用赋值法就可以做出来。赋值法就是把稀疏矩阵进行行变换，化为行最简，或者广义的行最简也是可以的，关键点就是阶梯口的第一个元素上面的元素都是零。然后给自由变量赋值，自由变量是非阶梯口第一个元素的元素。赋值考虑的是方便整体的计算。特解的话，好像是随便找一个满足非齐次方程的解就可以了。书上写的是，让自由变量为零，找到一个特解，这个之后练习的时候看看，是不是这么操作的。

求非齐次方程的特解，就是把系数矩阵和方程右边的矩阵构成一个增广矩阵，然后化为行最简或者广义行最简单，让自由变量等于零，列出方程，就可以了。就可以解出来了。了解这个原理之后还是挺简单的。我发现学习非常讲究进入一个心流状态，进入这个状态之后才能得到正反馈。也就是学懂得感受，学不懂的话，学习是非常痛苦的一件事情。

总结来说，行列式不为零就是满秩就是唯一解。

非齐次方程，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，就是无解，增广矩阵的秩一定大于等于系数矩阵的秩，并且，最多就是大一。另外，我发现自己只有对一个题做足够多的分析，才能确定自己是真的暂时明白了这个题的思路之类的东西。还有很长的路要走。

注意，可以被线性表示的，写在方程的右边。 非其次方程，系数矩阵和增广矩阵的秩，只有相等，才有可能有解。一个列向量可以被一个向量组线性表出且唯一，充要条件是向量组的秩和增广向量组的秩相等，并且都等于系数矩阵的列向量个数。本质上和非齐次方程是一致的。满秩就是唯一解，小于就是无穷解，假设两者的秩不相等就是无解。

非齐次方程，系数矩阵的行列式等于零，无解或者无穷多解，行列式不等于零，唯一解。很多东西我们慢慢推导也可以推导出来，但是直接把结论记在脑子里面更快，一个是花几十秒推导，一个是花一瞬间反应。我肯定是选择一瞬间反应这种方式。

行列式等于零之后，要进一步判断是无解还是无穷解，就是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的大小关系。假设相等，就是无穷解，假设不相等就是无解。 另外草稿纸和笔芯要是用得不够快，就是刷题不够。得引起警惕了。哈哈笑死。

点斜式，是指，一条主对角线，主对角线旁边一条线，然后最角落还有一个点，这种情况求行列式，按照左上角和左下角的两个点展开（假设角落这个点在左下角），然后就可以解决了。属于一种非常常见的特殊行列式。

存在两个不同的解，对于非其次方程来说，这种描述就是说存在无穷多解。那么，就是系数矩阵的行列式等于零，然后系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，小于系数矩阵的列数。增广矩阵的竖线一定要画，这样可以极大地帮助自己区分两个矩阵，减小犯错的概率。

非齐次方程的两个特解，或者若干个特解，他们的系数之和如果是 1 ，那么这若干个特解仍然是非齐次方程的特解。

三条线的行列式，要么数学递推找规律构造等比数列，要么特征方程用公式求解。三条线一般就是主对角线，然后邻近的两条斜着的对角线。竖着的一条直线也行。反正就是三条线。行列式会出现一行全是零的情况，此时行列式为零，那么结果就是零，出现零是一件非常振奋人心的事情。

$$0\cdot \infty \text{ 这种未定式我总是记不住，我只记得剩下的六种，每次说七种未定式，后面我只能默写六种，有点无奈，我这次肯定可以记住了。}$$

对于非齐次方程，行列式为零，可能是无解或者无穷解，这时我们要判断系数矩阵和增广矩阵的秩，假设相等就是无穷解，假设不相等，就是无解。

假设第一行的第一个元素是零，那么画阶梯矩阵该怎么画，这是我第一次遇到这种情况。 对于具体的 4.15 这题来说，没有自由变量，全是独立变量。我发现这个题很怪异，全是零。积累一下这题的做法吧。

坚定了一个想法，在强化结束之前，不刷除了周洋鑫之外的数学资料，因为我难以吃透，消化不了这么多资料。大概还有三个月左右的时间，这三个月时间争取把周洋鑫的资料多做几遍。

看到一个非零的方阵，就要反应过来，它的秩大于等于 1.这个非常重要。另外我现在发现做题就是，把一些条件摆出来，然后尽可能形成一些固定的模式，然后就一步一步算就能得到最后的答案了，不需要啥创造性的东西。

题海战术有一个问题，就是自己知道这个东西怎么做之后，重复训练就有点没有意思了。所以，一个知识点，学得适度，也差不多了。

算了，今天先不写练习题了，继续看网课，大概还剩三节网课没跟上，一节网课三个小时，估计要看到明天才能跟上进度，不过跟上进度也是一件值得高兴的事情。看一节网课要有一节网课的效果，要强度和质量。现在是看特征值的网课。

明天的计划是，把剩下的两节网课学完，然后晚上跟直播课，把第五章的讲义写完。加油。