LeetCode 1497. 检查数组对是否可以被 k 整除
好的！我们来详细分析 LeetCode 1497. 检查数组对是否可以被 k 整除 这道题的解法和思路。
题目: https://leetcode.cn/problems/check-if-array-pairs-are-divisible-by-k/description/
题目分析
问题描述：
给定一个整数数组 arr 和一个整数 k，判断数组中的元素是否可以分成若干对，使得每对元素的和都能被 k 整除。
示例：
输入：arr = [1, 2, 3, 4, 5, 10, 6, 7, 8, 9], k = 5
输出：true
解释：可以分成如下五对：(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 10)，每对的和都是 10，能被 5 整除。
核心思路
- 余数分解：将每个元素
num对k取余，得到余数r = num % k。 - 互补余数：对于每个余数
r，其互补余数为(k - r) % k。 - 哈希表统计：使用哈希表统计每个余数的出现次数，检查余数
r和互补余数(k - r) % k的次数是否匹配。
解法步骤
- 预处理余数：遍历数组，计算每个元素的余数
r，并将余数r的计数加 1。 - 检查余数对：
- 余数 0：出现次数必须为偶数，否则无法配对。
- 其他余数：余数
r的次数必须等于互补余数(k - r) % k的次数。
代码实现
class Solution {
public:bool canArrange(vector<int>& arr, int k) {vector<int> remainderCount(k, 0);// 统计每个余数的出现次数for (int num : arr) {int r = (num % k + k) % k; // 处理负数余数，确保结果在 [0, k-1] 范围内remainderCount[r]++;}// 检查余数0的次数是否为偶数if (remainderCount[0] % 2 != 0) {return false;}// 检查其他余数 i 和 k-i 的次数是否匹配for (int i = 1; i <= k/2; i++) {if (i == k - i) { // 当 k 为偶数且 i 是 k/2 时if (remainderCount[i] % 2 != 0) {return false;}} else {if (remainderCount[i] != remainderCount[k - i]) {return false;}}}return true;}
};
详细解释
-
余数预处理：
- 使用
(num % k + k) % k确保负数余数正确转换为正数（例如，-3 % 5转换为2）。
- 使用
-
余数 0 的处理：
- 余数为 0 的元素必须两两配对，因此其出现次数必须为偶数。
-
互补余数的处理：
- 对于每个余数
i（1 ≤ i ≤ k/2），其互补余数为k - i。 - 当
k为偶数且i = k/2时，余数i必须自身配对，因此其出现次数必须为偶数。
- 对于每个余数
示例验证
输入：arr = [1, 2, 3, 4], k = 5
步骤如下：
-
计算余数：
1 % 5 = 1,2 % 5 = 2,3 % 5 = 3,4 % 5 = 4。- 余数计数：
remainderCount = [0, 1, 1, 1, 1]。
-
检查余数对：
- 余数 0：次数为 0，符合条件。
- 余数 1 和 4：次数均为 1，匹配。
- 余数 2 和 3：次数均为 1，匹配。
输出：true（可以配对为 (1, 4) 和 (2, 3)）。
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n + k)，其中 n 是数组长度，k 是给定的除数。
- 空间复杂度：O(k)，主要用于存储余数的计数。
总结
通过余数分解和互补余数的配对检查，我们可以高效地判断数组是否能被分成若干对，使得每对的和都能被 k 整除。这种方法利用了模运算的性质，将问题转化为余数的匹配问题，时间复杂度为线性级。
这行代码检查的是当 k 为偶数且 i 恰好是 k/2 时，余数为 i 的元素数量必须是偶数。这是因为当 i = k/2 时，其互补余数仍然是 i 自身，因此这些元素必须两两配对。
补充：详细解释条件判断
- 代码：
if (i == k - i) // 当 k 为偶数且 i 是 k/2 时
当 k 为偶数时，存在一个特殊的余数 i = k/2（例如，当 k=4 时，i=2）。此时：
-
余数
i的互补性：
余数i的互补余数是(k - i) % k。当i = k/2时，k - i = k/2，因此互补余数仍然是i。- 示例：若
k=4，余数2的互补余数是4-2=2。
- 示例：若
-
配对规则：
余数为i的元素只能与同样余数为i的元素配对。因此，余数为i的元素数量必须是偶数，否则无法完全配对。- 示例：若余数
2出现了 3 次（奇数），则必然有一个元素无法配对，导致无法满足条件。
- 示例：若余数
代码逻辑验证
在代码中，当 i == k - i 时（即 i 是 k/2），检查 remainderCount[i] 是否为偶数：
if (i == k - i) { // 当 k 为偶数且 i 是 k/2 时if (remainderCount[i] % 2 != 0) { // 若余数为 i 的元素数量为奇数return false; // 无法两两配对，返回 false}
}
示例验证
假设 k=4，数组为 [2, 2, 2, 6]，余数统计为：
- 余数
2出现了 3 次（元素 2, 2, 6）。 - 互补余数检查时，
i=2的互补余数仍为2，但3 % 2 != 0，因此无法配对，返回false。
总结
当 k 为偶数时，余数 k/2 的元素必须两两配对，因此其数量必须为偶数。这是代码中检查 remainderCount[i] % 2 != 0 的核心原因。