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CQF预备知识：一、微积分 -- 1.8.1 链式法则 I 详解

news 来源：原创 2025/6/6 6:42:37

文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

📖 数学入门全解

本系列教程为CQF(国际量化金融分析师证书)认证所需的数学预备知识，涵盖所有需要了解的数学基础知识，旨在帮助读者熟悉核心课程所需的数学水平。

教程涵盖以下四个主题：

1.8.1 链式法则 I 详解

复合函数求导法则

当函数 $z = f (x, y)$ 的变量 $x, y$ 本身又是另一变量 $s$ 的函数时，即 $x = x (s), y = y (s)$ ，则复合函数 $F (s) = f (x (s), y (s))$ 的导数为：

$\frac{dF}{ds} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{ds} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{ds}$

其中：

基础示例分析

给定：

$x^2 + y^2 \\ x(s) = \cos s, \quad y(s) = \sin s$

计算步骤：

求偏导数：

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y$
求中间变量导数：

$\frac{dx}{ds} = -\sin s, \quad \frac{dy}{ds} = \cos s$
代入链式法则：

$\frac{dF}{ds} = 2x(-\sin s) + 2y(\cos s) \\ = -2\cos s \sin s + 2\sin s \cos s = 0$
验证结果：

$\cos^2 s + \sin^2 s = 1 \Rightarrow \frac{dF}{ds} = 0$

参数方程求导

问题描述：

$e^{xy^2} \\ x = t\cos t, \quad y = t\sin t \\ 求 \left. \frac{dz}{dt} \right|_{t=\frac{\pi}{2}}$

解题步骤：

计算偏导数：

$\frac{\partial z}{\partial x} = y^2 e^{xy^2} \\ \frac{\partial z}{\partial y} = 2xy e^{xy^2}$
计算中间导数：

$\frac{dx}{dt} = \cos t - t\sin t \\ \frac{dy}{dt} = \sin t + t\cos t$
应用链式法则：

$\frac{dz}{dt} = (y^2 e^{xy^2})(\cos t - t\sin t) + (2xy e^{xy^2})(\sin t + t\cos t)$
代入 $\frac{\pi}{2}$ ：
- $\frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} = 0$
- $\frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$
- 计算得：
  
  $\frac{dz}{dt} = \left(\frac{\pi^2}{4}\right)e^0 (- \frac{\pi}{2}) + 0 = -\frac{\pi^3}{8}$

偏导数与全导数区别：
- 偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ：仅考虑 $x$ 变化对 $f$ 的影响
- 全导数 $\frac{dF}{ds}$ ：综合所有变量通过中间参数 $s$ 的变化影响
链式法则的几何意义：
- 描述复合函数变化率的叠加效应
- 各路径贡献的加权和（权重为对应导数）
计算注意事项：
- 必须保持变量依赖关系的清晰
- 最后代入数值前保持符号运算
- 注意复合函数中各导数的相乘顺序