极坐标求解的二重积分适合特征
✅ 适合转换为极坐标求解的二重积分
1. 积分区域与圆形、扇形或环形相关
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圆形区域：如
x 2 + y 2 ≤ R 2 或 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ≤ R 2 （需平移后简化） x^2 + y^2 \leq R^2 \quad \text{或} \quad (x-a)^2 + (y-b)^2 \leq R^2 \quad \text{（需平移后简化）} x2+y2≤R2或(x−a)2+(y−b)2≤R2（需平移后简化）
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扇形或环形区域：如
0 ≤ r ≤ R , α ≤ θ ≤ β 或 R 1 ≤ r ≤ R 2 0 \leq r \leq R, \quad \alpha \leq \theta \leq \beta \quad \text{或} \quad R_1 \leq r \leq R_2 0≤r≤R,α≤θ≤β或R1≤r≤R2
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对称区域：关于原点对称的区域（如四象限对称）
2. 被积函数含 x 2 + y 2 x^2 + y^2 x2+y2 或相关形式
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例如：
- f ( x 2 + y 2 ) f(x^2 + y^2) f(x2+y2)
- y x \frac{y}{x} xy（即 tan θ \tan\theta tanθ）
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常见被积函数：
- e − x 2 − y 2 = e − r 2 e^{-x^2 - y^2} = e^{-r^2} e−x2−y2=e−r2
- x 2 + y 2 = r \sqrt{x^2 + y^2} = r x2+y2=r
- 1 x 2 + y 2 = 1 r 2 \frac{1}{x^2 + y^2} = \frac{1}{r^2} x2+y21=r21（注意原点奇点）
3. 极坐标变换公式
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变量替换：
x = r cos θ , y = r sin θ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta x=rcosθ,y=rsinθ
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面积微元：
d A = r d r d θ \mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta dA=rdrdθ
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积分转换公式：
∬ D f ( x , y ) d A = ∫ θ 1 θ 2 ∫ r 1 ( θ ) r 2 ( θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) ⋅ r d r d θ \iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta ∬Df(x,y)dA=∫θ1θ2∫r1(θ)r2(θ)f(rcosθ,rsinθ)⋅rdrdθ
4. 典型例子
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圆形区域积分：
∬ x 2 + y 2 ≤ 4 x 2 + y 2 d A ⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r ⋅ r d r d θ \iint_{x^2 + y^2 \leq 4} \sqrt{x^2 + y^2}\,\mathrm{d}A \Rightarrow \int_0^{2\pi} \int_0^2 r \cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta ∬x2+y2≤4x2+y2dA⇒∫02π∫02r⋅rdrdθ
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环形区域积分：
∬ 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 e − x 2 − y 2 d A ⇒ ∫ 0 2 π ∫ 1 3 e − r 2 ⋅ r d r d θ \iint_{1 \leq x^2 + y^2 \leq 9} e^{-x^2-y^2}\,\mathrm{d}A \Rightarrow \int_0^{2\pi} \int_1^3 e^{-r^2} \cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta ∬1≤x2+y2≤9e−x2−y2dA⇒∫02π∫13e−r2⋅rdrdθ
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扇形区域积分：
∬ 0 ≤ θ ≤ π / 4 , 0 ≤ r ≤ a y x d A ⇒ ∫ 0 π / 4 ∫ 0 a tan θ ⋅ r d r d θ \iint_{0 \leq \theta \leq \pi/4, \, 0 \leq r \leq a} \frac{y}{x}\,\mathrm{d}A \Rightarrow \int_0^{\pi/4} \int_0^a \tan\theta \cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta ∬0≤θ≤π/4,0≤r≤axydA⇒∫0π/4∫0atanθ⋅rdrdθ
5. 不适用极坐标的情况
- 积分区域为矩形（如 [ a , b ] × [ c , d ] [a,b] \times [c,d] [a,b]×[c,d]）
- 被积函数不含 x 2 + y 2 x^2 + y^2 x2+y2 或角度项，且区域边界非圆形
✅ 总结
当积分区域或被积函数与极坐标的自然对称性（如圆形、环形）匹配时，极坐标能显著简化计算。转换后注意：
- 正确表示 r r r 的积分限（可能依赖 θ \theta θ）
- 不要遗漏雅可比行列式项 r r r
如需具体题目分析，可提供积分表达式和区域描述，我可以进一步演示转换步骤。