二重积分的线性性

✅ 二重积分的线性性：

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📌 二重积分的线性性质详解

二重积分的线性性质是指积分运算对于被积函数的加法和数乘具有线性性。具体来说，可以分解为以下两个部分：

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1️⃣ 可加性

若函数 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 在区域 $D$ 上可积，则它们的和 $f(x,y)+g(x,y)$ 也在 $D$ 上可积，且满足：

$${\iint }_D[f(x,y)+g(x,y)]d\sigma ={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma +{\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$$

📐 几何意义：两个函数之和的积分等于各自积分的和。例如，若 $f$ 和 $g$ 分别表示两个曲面在区域 $D$ 上的高度，则它们的和对应的体积等于两个体积之和。

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2️⃣ 齐次性（数乘性质）

若函数 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积，$k$ 为任意常数，则 $k\cdot f(x,y)$ 也在 $D$ 上可积，且满足：

$${\iint }_{D}k\cdot f(x,y)d\sigma =k\cdot {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$$

📐 几何意义：函数值均匀缩放 $k$ 倍后，其对应的体积也缩放 $k$ 倍。

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📚 合并表述（线性性的完整形式）

对于任意常数 $k_1,k_2$ 和可积函数 $f(x,y),g(x,y)$，有：

$${\iint }_D[k_{1}f(x,y)+k_{2}g(x,y)]d\sigma =k_1{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma +k_2{\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$$

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🧠 证明思路（以可加性为例）

通过积分定义（黎曼和）进行说明：

1. 将区域 $D$ 分割为小区域 $\Delta {\sigma }_i$；

2. 在每一小区域上取点 $(x_i,y_i)$，则黎曼和为：

   $$\sum [f(x_i,y_i)+g(x_i,y_i)]\Delta {\sigma }_i=\sum f(x_i,y_i)\Delta {\sigma }_i+\sum g(x_i,y_i)\Delta {\sigma }_i$$

3. 当分割无限细化时，两边分别趋近于 ${\iint }_{D}fd\sigma$ 和 ${\iint }_{D}gd\sigma$，即得结论。

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🧪 应用示例

计算：

$${\iint }_D(2x+3y)dA,\text{其中 }D=[0,1]\times [0,2]$$

✂️ 利用线性性质拆分：

$${\iint }_D(2x+3y)dA=2{\iint }_{D}xdA+3{\iint }_{D}ydA$$

分别计算：

$${\iint }_{D}xdA={\int }_0^1{\int }_0^{2}xdydx=2{\int }_0^{1}xdx=1$$

$${\iint }_{D}ydA={\int }_0^1{\int }_0^{2}ydydx={\int }_0^{1}2dx=2$$

✅ 最终结果为：

$$2\times 1+3\times 2=\boxed{8}$$

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⚠️ 注意事项

1. 可积性前提：确保 $f$ 和 $g$ 在 $D$ 上可积（如连续，或有界且间断点集合为零测集）；
2. 区域一致性：所有积分必须在同一区域 $D$ 上进行。

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📎 总结：
线性性质是简化复杂积分计算的重要工具，尤其在处理多项式或被积函数可分解时非常有效。

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