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leetcode98.验证二叉搜索树：递归法中序遍历的递增性验证之道

news 来源：原创 2025/6/21 3:26:40

一、题目深度解析与BST核心性质

题目描述

验证二叉搜索树（BST）是算法中的经典问题，要求判断给定的二叉树是否满足BST的定义：

左子树中所有节点的值严格小于根节点的值
右子树中所有节点的值严格大于根节点的值
左右子树本身也必须是二叉搜索树

BST的本质特性

中序遍历性质：BST的中序遍历结果是一个严格递增的序列。例如：
```
    3/ \1   5\   \2   6
中序遍历结果：[1, 2, 3, 5, 6]（严格递增）
```
递归定义：每个节点需满足左子树最大值 < 当前节点值 < 右子树最小值，但直接递归验证需传递上下界，而通过中序遍历的递增性可更简洁地验证。

二、递归解法的核心实现与逻辑框架

完整递归代码实现

/*** Definition for a binary tree node.* public class TreeNode {*     int val;*     TreeNode left;*     TreeNode right;*     TreeNode() {}*     TreeNode(int val) { this.val = val; }*     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {*         this.val = val;*         this.left = left;*         this.right = right;*     }* }*/
class Solution {TreeNode max; // 记录中序遍历的前一个节点（初始为null）public boolean isValidBST(TreeNode root) {if (root == null) {return true; // 空树是有效的BST}// 1. 递归验证左子树boolean leftValid = isValidBST(root.left);if (!leftValid) {return false; // 左子树不合法，直接返回false}// 2. 验证当前节点与前一个节点的关系（中序遍历的递增性）if (max != null && max.val >= root.val) {return false; // 当前节点值不大于前一个节点值，违反BST定义}max = root; // 更新前一个节点为当前节点（中序遍历顺序：左-中-右）// 3. 递归验证右子树boolean rightValid = isValidBST(root.right);return rightValid; // 右子树的合法性决定最终结果}
}

核心设计解析：

全局变量max：
- 作用：记录中序遍历过程中访问的前一个节点（初始为null）
- 更新时机：在处理完左子树后、处理右子树前，访问当前节点时更新
- 核心逻辑：确保当前节点值 > 前一个节点值（中序遍历递增性）
递归顺序：
- 左子树 → 当前节点 → 右子树（中序遍历顺序）
- 先递归处理左子树，再检查当前节点，最后处理右子树
- 保证在检查当前节点时，左子树已完全处理，max是左子树的最后一个节点（即当前节点的前驱）

三、核心问题解析：递归顺序与返回值条件

1. 递归顺序的本质：中序遍历的递归实现

递归步骤拆解：

递归左子树：isValidBST(root.left)
- 确保左子树本身是BST，且左子树的所有节点已按中序遍历处理完毕
处理当前节点：
- 检查当前节点值是否大于前一个节点值（max.val < root.val）
- 更新max为当前节点，作为后续右子树的前驱节点
递归右子树：isValidBST(root.right)
- 右子树的所有节点值必须大于当前节点值（由中序遍历递增性保证）

中序遍历映射：

递归顺序：左子树 → 当前节点 → 右子树
对应中序遍历：左子树节点 < 当前节点 < 右子树节点

2. 返回值条件的逻辑闭环

条件判断链：

左子树不合法：直接返回false，无需继续检查
当前节点不满足递增性：返回false，右子树无需检查
右子树不合法：返回false，整个树不合法

代码中的短路效应：

if (!leftValid) return false; // 左子树失败则整体失败
if (max != null && max.val >= root.val) return false; // 当前节点失败则整体失败
return rightValid; // 右子树决定最终结果

四、递归流程深度模拟：以无效BST为例

示例无效BST结构：

    5/ \4   6/ \3   7

问题：左子节点4 >= 根节点5？不，实际问题在右子树3 < 根节点6

递归验证过程：

处理根节点5：
- 递归左子树4（叶子节点，返回true）
- 检查max=null，更新max=4
- 递归右子树6：
  - 递归左子树3（叶子节点，返回true）
  - 检查max=4 < 3？不，4 >= 3，返回false
- 根节点5的右子树验证失败，整体返回false

关键失败点：

右子树的左节点3值为3，前一个节点是根节点5的左子树节点4，4 >= 3，违反递增性

五、算法复杂度分析

1. 时间复杂度

O(n)：每个节点仅访问一次，n为树的节点数
递归过程中每个节点执行常数级操作，总时间线性于节点数

2. 空间复杂度

O(h)：h为树的高度（递归栈深度）
- 平衡BST：h=logn，空间复杂度O(logn)
- 最坏情况（退化为链表）：h=n，空间复杂度O(n)

3. 与迭代法对比

方法	优势	劣势
递归法	代码简洁，中序遍历自然递归实现	深树可能导致栈溢出
迭代法	避免栈溢出，空间更可控	栈操作逻辑较复杂

六、核心技术点总结：递归验证的三大关键

1. 中序遍历的递归映射

顺序保证：递归顺序天然符合中序遍历的左-中-右顺序
状态传递：通过全局变量max传递中序遍历的前驱节点，避免显式传递上下界

2. 递增性的核心判断

单一条件：无需检查复杂的上下界，只需保证当前节点 > 前驱节点
数学等价：中序遍历递增性等价于BST的严格定义，简化判断逻辑

3. 递归终止条件的设计

空树处理：直接返回true，作为递归终止的安全边界
叶子节点：左右子树为空时，仅需检查自身与前驱节点的关系

七、常见误区与优化建议

1. 错误理解BST定义

误区：认为只需当前节点左右子节点满足条件即可

// 错误做法：仅比较左右子节点
if (root.left != null && root.left.val >= root.val) return false;
if (root.right != null && root.right.val <= root.val) return false;

正确逻辑：需保证左子树所有节点 < 当前节点，而非仅左子节点

2. 忽略全局变量的作用

误区：未使用前驱节点记录，导致无法验证跨层节点关系
正确设计：max记录中序前驱，确保整个序列递增

3. 优化建议：显式传递上下界（递归法变种）

public boolean isValidBST(TreeNode root) {return validate(root, null, null);
}private boolean validate(TreeNode node, Integer lower, Integer upper) {if (node == null) return true;int val = node.val;// 当前节点需满足 lower < val < upperif (lower != null && val <= lower) return false;if (upper != null && val >= upper) return false;// 左子树最大值 < val，右子树最小值 > valreturn validate(node.left, lower, val) && validate(node.right, val, upper);
}