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【区间dp】-----例题4【凸多边形的划分】

news 来源：原创 2025/6/21 11:00:51

凸多边形的划分

题目描述

给定一个具有 N 个顶点的凸多边形，将顶点从 1 至 N 标号，每个顶点的权值都是一个正整数。
将这个凸多边形划分成 N-2 个互不相交的三角形，求所有这些三角形顶点权值乘积之和的最小值。

输入描述

第一行输入一个整数 N，表示顶点个数。
第二行输入 N 个整数，依次为顶点 1 至顶点 N 的权值。

输出描述

输出仅一行，为这些三角形顶点权值乘积和的最小值。

示例

输入

5
121 122 123 245 231

输出

12214884

备注

对于 100% 的数据，有 N ≤ 50。
每个顶点的权值均小于 10^9。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
using lll = __int128;  // 定义 __int128 类型别名，方便使用// __int128 的打印函数：
// 标准库不支持直接打印 __int128，因此需要自定义打印函数
void print128(lll x) {if (x == 0)  // 特判0{cout << '0';return;}if (x < 0)  // 处理负数，先打印负号，再取正{cout << '-';x = -x;}string s = "";// 将数字转换为字符串，取模得到最低位，累加字符while (x > 0) {s += (x % 10 + '0');  // 取个位数字并转成字符x /= 10;              // 去掉个位数字，向高位进位}// 因为是从低位向高位依次加入字符，字符串是反向的，需反转reverse(s.begin(), s.end());cout << s;  // 输出字符串
}int main()
{ll n;cin >> n;  // 输入顶点个数（多边形点数）vector<ll> w(n + 1, 0);  // 权值数组，1-based 索引，w[i] 为第 i 个顶点的权值for (ll i = 1; i <= n; i++){cin >> w[i];}// 定义一个很大的数 N 作为无穷大（INF），用来初始化 DP 表// N = 2^(121)，非常大，远大于可能出现的最大代价，防止溢出lll N = 2;for (ll i = 0; i < 120; i++){N *= 2;}// 初始化 DP 数组，dp[i][j] 表示区间 [i,j] 的最小剖分代价// 一开始赋值为无穷大 N，表示暂时不可达或未计算vector<vector<lll>> dp(n + 1, vector<lll>(n + 1, N));// 区间长度为 1 或 2 的子区间不构成三角形，代价为 0// 所以这些区间 dp 值初始化为 0for (ll len = 1; len <= 2; len++){for (ll i = 1; i + len - 1 <= n; i++){ll j = i + len - 1;dp[i][j] = 0;}}// 区间 DP 主要部分：从长度 3 到 n 的区间逐步计算最小代价for (ll len = 3; len <= n; len++){for (ll i = 1; i + len - 1 <= n; i++){ll j = i + len - 1;// 尝试所有可能的中间分割点 k，将区间 [i,j] 分成 [i,k] 和 [k,j]for (ll k = i + 1; k < j; k++){// 代价由三部分组成：// 左子区间最优代价 dp[i][k]// 右子区间最优代价 dp[k][j]// 当前剖分三角形代价 w[i] * w[k] * w[j]lll cost = dp[i][k] + dp[k][j] + (lll)w[i] * w[k] * w[j];// 取所有分割点中的最小代价dp[i][j] = min(dp[i][j], cost);}}}// 打印最终结果，dp[1][n] 即整个多边形的最小剖分代价print128(dp[1][n]);cout << "\n";return 0;
}