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如何用，向量表示3维空间种的有向线段（4，2，3）

news 来源：原创 2025/5/27 12:18:50

一、画三个坐标

等轴测投影”（isometric projection）风格的手绘风格三维图，即三条坐标轴（X, Y, Z）看起来彼此垂直、等角分布（通常是 120° 夹角），它是常见于教材和数学书籍的 “假三维”表示法。

展示了一个三轴（X, Y, Z）坐标系，并标记了每个坐标轴上 5 个刻度值：

X轴：水平向右（0°）。

Y轴：相对于X轴顺时针120°。

Z轴：与X轴垂直（90°），竖直向上。

二、画出最终向量 V(4, 2, 3) 的终点在二维投影下的坐标\

1. 基础知识：

`vx = x * ux`

x = 4，表示向量在 X 方向的分量是 4
ux 是 X 轴方向的单位向量（也就是 np.array([1, 0])）
所以：vx = x * ux = 4 * [1, 0] = [4, 0]，意思是“从原点出发，沿 X 方向走 4 单位”

这就是 X 分量终点的坐标。

vx = x * ux：X分量终点
vxy = vx + y * uy：在 vx 的基础上再加上 Y 分量
vxyz = vxy + z * uz：在 vxy 的基础上再加上 Z 分量

vxyz 是最终向量 V(4, 2, 3) 的 终点在二维投影下的坐标

2.辅助注释来明确三段虚线（投影）：

X 轴分量（X分量 → XY 分量)
Y 轴分量（Y分量 → xy 分量）
Z 轴分量（xy 分量 → xyz 点）

1. X分量虚线 blue ax.plot([vx[0], vxy[0]], [vx[1], vxy[1]], linestyle='dotted', color='blue')

2.Y 轴分量

#Y 分量 → XY 合成分量
ax.plot([vy[0], vxy[0]], [vy[1], vxy[1]], linestyle='dotted', color='purple')

3. Z分量虚线

ax.plot([vxy[0], vxyz[0]], [vxy[1], vxyz[1]], linestyle='dotted', color='yellow')

import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用黑体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False    # 正常显示负号
import numpy as npfig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
ax.set_aspect('equal')origin = np.array([0, 0])
length = 5# 单位向量
ux = np.array([np.cos(np.radians(0)), np.sin(np.radians(0))])       # X轴：0°
uy = np.array([np.cos(np.radians(-120)), np.sin(np.radians(-120))]) # Y轴：顺时针120°
uz = np.array([np.cos(np.radians(90)), np.sin(np.radians(90))])     # Z轴：垂直向上# 绘制坐标轴
ax.arrow(*origin, *(ux * length), head_width=0.2, length_includes_head=True, color='black')
ax.arrow(*origin, *(uy * length), head_width=0.2, length_includes_head=True, color='black')
ax.arrow(*origin, *(uz * length), head_width=0.2, length_includes_head=True, color='black')# 标注轴名
ax.text(*(ux * (length + 0.3)), 'X', fontsize=12, ha='center', va='center')
ax.text(*(uy * (length + 0.3)), 'Y', fontsize=12, ha='center', va='center')
ax.text(*(uz * (length + 0.3)), 'Z', fontsize=12, ha='center', va='bottom')# 添加刻度
for i in range(1, length + 1):# X轴tick_x = origin + ux * iax.plot([tick_x[0], tick_x[0]], [tick_x[1] - 0.1, tick_x[1] + 0.1], color='black')ax.text(tick_x[0], tick_x[1] - 0.3, str(i), ha='center', va='top', fontsize=10)# Y轴tick_y = origin + uy * ioffset_y = np.array([-uy[1], uy[0]])  # 垂直方向ax.plot([tick_y[0] - 0.1 * offset_y[0], tick_y[0] + 0.1 * offset_y[0]],[tick_y[1] - 0.1 * offset_y[1], tick_y[1] + 0.1 * offset_y[1]], color='black')ax.text(tick_y[0] + 0.25 * offset_y[0], tick_y[1] + 0.25 * offset_y[1],str(i), ha='center', va='center', fontsize=10)# Z轴tick_z = origin + uz * iax.plot([tick_z[0] - 0.1, tick_z[0] + 0.1], [tick_z[1], tick_z[1]], color='black')ax.text(tick_z[0] - 0.3, tick_z[1], str(i), ha='right', va='center', fontsize=10)# ========== 添加向量 (4, 2, 3) ==========
x, y, z = 4, 2, 3# 计算各个分量点
vx = x * ux                    # X分量点
vxy = vx + y * uy              # X + Y 分量点
vxyz = vxy + z * uz            # 向量终点 (4, 2, 3)# 主向量箭头（红色）
ax.arrow(*origin, *(vxyz - origin), head_width=0.2, length_includes_head=True, color='red')
ax.text(*(vxyz + 0.3), 'V(4,2,3)', color='red', fontsize=12)#Y 分量 → XY 合成分量
vy = y * uy
ax.plot([vy[0], vxy[0]], [vy[1], vxy[1]], linestyle='dotted', color='purple')# X分量虚线
ax.plot([vx[0], vxy[0]], [vx[1], vxy[1]], linestyle='dotted', color='blue')# Z分量虚线
ax.plot([vxy[0], vxyz[0]], [vxy[1], vxyz[1]], linestyle='dotted', color='yellow')# 可视区域与关闭坐标轴
ax.set_xlim(-6, 6)
ax.set_ylim(-4, 6)
ax.axis('off')plt.title('三维等轴测投影：X(0°), Y(顺时针120°), Z(90°)')
plt.show()