高等数学-常微分方程

一、一阶微分方程

（1）可分离变量的微分方程：

    解题步骤：

     例1：求微分方程dy/dx=3x^2y的通解。

       1)将方程的变量进行分离：

            dy/y=3x^2dx

        2)两边积分：

             ∫ dy/y=∫ 3x^2 dx

          3)为了方便，直接写成下式:

             lny=x^3+lnC（C为全体正数）

          4)由3)直接得到方程的通解：

              y=Ce^(x^3)(这里需要验证y=0是方程的解，因为y=0是方程的解，所以是C变为任意常数(还用C表示))

              在求通解时，常常略去分离变量时关于分母为0的讨论。

              注：

                    两端可以积分的原理：

   例2:       （2）齐次方程：

      形如dy/dx=φ(y/x)的方程称为齐次方程

       可转化成可分离变量的微分方程，转化方法：

        令u=y/x

        则y=ux

        dy/dx=x(du/dx)+u

         将上式代入方程：

          x(du/dx)+u=φ(u)

          于是，x(du/dx)=φ(u)-u

          此方程是以x为自变量，u为未知函数的可分离变量的微分方程。

注：1/(u-1)-1/u的不定积分为ln|u/u-1|，这里为了方便，直接将绝对值去掉。

(3)一阶线性微分方程：

形如dy/dx+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程。这里的线性，是指微分方程中关于未知函数y及其导数dy/dx都是一次的。如果Q(x)恒为0，则称该方程为一阶线性齐次微分方程；否则，称该方程为一阶线性非齐次微分方程(这里齐次和齐次方程中的齐次无关)。

1)用分离变量法求一阶线性齐次微分方程：

dy/dx=-P(x)dx

两边积分：

lny=-∫P(x)dx+lnC(这里∫P(x)dx表示P(x)的某个原函数)

从而得方程的通解：

y=Ce^(-∫P(x)dx)

(2)用常数变易法求一阶线性非齐次微分方程的通解：

 

例1: