高等数学-求导

一、求导数的原函数就是求导数的积分

1）设函数f(t)在区间[a,b]上连续，则对任意的x∈[a,b],f(t)在[a,x]上连续，从而在[a,x]上可积。令其积分为Φ(x)=∫*a^x f(t)dt, x∈[a,b],则Φ(x)为定义在区间[a,b]上的一个函数，通常称作积分上限的函数或变上限积分，几何意义如下：

2）变上限积分函数Φ(x)的重要性质：

定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变上限积分Φ(x)=∫*a^x f(t)dt在[a,b]上可导，并且

             d

Φ'(x)=———∫*a^x f(t)dt=f(x),x∈[a,b].

             dx

该定理告诉我们：如果函数f(x)在[a,b]上连续，那么它在[a,b]上一定有原函数Φ(x)=∫*a^x f(t)dt.换句话说，连续函数的原函数总是存在的（连续函数必有原函数）

二、牛莱公式

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则∫*a^b f(x)dx=F(b)-F(a).

证明：由已知及2中的定理，函数F(x)和Φ(x)=∫*a^x f(t)dt都是函数f(x)在区间[a,b]上的原函数，从而F(x)-Φ(x)=C(x∈[a,b]),其中C为一个常数。

令x=a得F(a)-Φ(a)=C.又由于Φ(a)=0,所以C=F(a)，代入上式得Φ(x)=F(x)-F(a)(x∈[a,b]),即∫*a^x f(t)dt=F(x)-F(a)(x∈[a,b]).特别地，当x=b时，即有∫*a^b f(x)dx=F(b)-F(a).

三、求导（原函数）

1）[(cosx)^4]'=-4sinx(cosx)^3

2）求导函数x√(1+2x)的原函数

求复合函数原函数采用换元法：

设u=1+2x，则x=(u-1)/2

x√(1+2x)=(u-1)/2*√u=u^(3/2)/2-u^(1/2)/2

关于u的原函数：

换回x，所以结果为：