CQF预备知识：一、微积分 —— 1.2.2 函数f(x)的类型详解

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本教程为复习课程，旨在帮助读者复习数学知识。教程涵盖以下四个主题：

• 微积分
• 线性代数
• 微分方程
• 概率与统计

1.2.2 函数$f(x)$的类型详解

一、多项式函数

1. 定义
   形如 $y=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$ 的函数称为多项式函数，其中：

   • $a_0,a_1,\dots ,a_n$ 是常数系数（$a_n\ne 0$）
   • 最高次项 $x^n$ 的指数 $n$ 称为多项式的次数（如 $x^3$ 是三次项，则该多项式为三次多项式）

2. 通用表达式
   可用求和符号简写为：
   $$f(x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k$$
   例如：

   • $f(x)=2x^3-x+5$ 是三次多项式（最高次项为 $x^3$）
   • $g(x)=4$ 是零次多项式（常数函数）

二、多项式方程

1. 基本形式
   当多项式函数等于零时，即 $f(x)=0$，称为多项式方程。

   方程次数由最高次项的次数决定。

2. 一次方程与二次方程

   • 一次方程（线性方程）：$ax+b=0$
     解为 $x=-b/a$（唯一实数解）
   • 二次方程（核心内容）：$a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$）

三、二次方程的解法（配方法）

步骤详解：

1. 配方目标：将方程转化为 $(x+m{)}^2=n$ 的形式

   • 原方程：$a{x}^2+bx+c=0$
   • 移项得：$a{x}^2+bx=-c$
   • 两边除以 $a$：$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

2. 完成平方：

   • 关键操作：对 $x^2+\frac{b}{a}x$ 添加 $(\frac{b}{2a}{)}^2$ 使其成为完全平方

   • 方程变为：

     $$x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2={\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{c}{a}$$

   • 左边化简为：

     $${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

3. 求根公式：

   • 开平方得：

     $$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

   • 最终解：

     $$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

四、判别式与根的分布

判别式 $\Delta =b^2-4ac$ 决定根的性质：

1. $\Delta >0$

   • 方程有两个不同实根
   • 例：$x^2-5x+6=0$，$\Delta =1>0$，解为 $x=2$ 和 $x=3$

2. $\Delta =0$

   • 方程有唯一实根（重根）
   • 例：$x^2-4x+4=0$，$\Delta =0$，解为 $x=2$（二重根）

3. $\Delta <0$

   • 方程无实根，有共轭复数根
   • 例：$x^2+1=0$，$\Delta =-4<0$，解为 $x=\pm i$

五、知识框图

多项式函数
├─ 定义：由x的幂次项组成
├─ 次数：最高次项的指数
└─ 方程：f(x)=0 → 多项式方程├─ 一次方程：ax + b = 0 → 单根└─ 二次方程：ax² + bx + c = 0├─ 解法：配方法 → 求根公式└─ 根的判别式（Δ）├─ Δ > 0 → 两实根├─ Δ = 0 → 重根└─ Δ < 0 → 共轭复根

六、常见误区

1. 系数非零要求：二次方程中 $a\ne 0$，否则退化为一次方程
2. 符号处理：配方时注意保持等式平衡，开平方需添加正负号
3. 复数根的意义：当Δ<0时，根为 $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}i$，实部相同，虚部相反

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