CT重建笔记（五）—2D平行束投影公式

写的又回去了，因为我发现我理解不够透彻，反正想到啥写啥，尽量保证内容质量好简洁易懂

2D平行束投影公式

$p(s,\theta )=\int \int f(x,y)\delta (xcos\theta +ysin\theta -s)dxdy$式1
$p(s,\theta )=\int f(scos\theta -tsin\theta ,ssin\theta +tcos\theta )dt$式2
$p(s,\theta )=\int f(s\vec{\theta }+t\vec{\theta })dt$式3
$p(s,\theta )=\int f_{\theta }(s,t)dt$式4
这些公式来自医学图像重建1.5节，这些都是2D平行束投影公式（我偷懒没写积分的上下限）。
$s$表示探测器像素单元的坐标，$\theta$表示投影角度。
$f(x,y)$为物体截面的线衰减系数。
$xcos\theta +ysin\theta =s$是平面直线方程的一种写法（Hesse Normal Form，见https://leslielee.blog.csdn.net/article/details/145670396），表示投影角度为$\theta$投影至探测器坐标$s$处的射线。

式1

$\delta (z)$是一个广义函数，具有筛选的性质（见https://leslielee.blog.csdn.net/article/details/144859730，但由于我的数学水平不够，这篇写的比较差劲）
给定$s,\theta$后，若固定$y$，则式1中位于里面的积分可写作：
$\int f(x,\bar{y})\delta (xcos\bar{\theta }+\bar{y}sin\bar{\theta }-\bar{s})dx=f(\tilde{x},\bar{y})$
其中，$\tilde{x}cos\bar{\theta }+\bar{y}sin\bar{\theta }=\bar{s}$，即$(\tilde{x},\bar{y})$在直线$xcos\bar{\theta }+ysin\bar{\theta }=\bar{s}$上。
给定$s,\theta$后，遍历所有的$y$（式1中位于外面积分的作用），便可实现将位于直线$xcos\bar{\theta }+ysin\bar{\theta }=\bar{s}$上的$f(x,y)$进行求和。
因此，式1得到的是位于直线$xcos\theta +ysin\theta =s$上的$f(x,y)$的和。

若令$\vec{\theta }=(cos\theta ,sin\theta )$，$\vec{x}=(x,y)$，则式1可得到向量写法：
$p(s,\theta )=\int \int f(x,y)\delta (\vec{x}\cdot \vec{\theta }-s)dxdy$

式2

$(x,y)$要位于直线$xcos\theta +ysin\theta =s$上才可计算线积分。因此，$x=scos\theta -tsin\theta ,y=ssin\theta +tcos\theta$必然已经将$(x,y)$约束至直线$xcos\theta +ysin\theta =s$上。

定义$t$，令$x=scos\theta -tsin\theta ,y=ssin\theta +tcos\theta$，将$x,y$带入直线方程中得到：
$(scos\theta -tsin\theta )cos\theta +(ssin\theta +tcos\theta )sin\theta =s$
进一步化简可得：
$s=s$
因此，$x=scos\theta -tsin\theta ,y=ssin\theta +tcos\theta$ 等效于 $xcos\theta +ysin\theta =s$，即将$(x,y)$约束至直线$xcos\theta +ysin\theta =s$上。
（那是如何才能想到这么表示$x,y$呢，对此我咨询了元宝，元宝告我跟旋转矩阵相关。）

$x=scos\theta -tsin\theta ,y=ssin\theta +tcos\theta$ 可写成向量矩阵形式：
（见https://leslielee.blog.csdn.net/article/details/135566902）
$\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$
$x,y$是$s,t$逆时针旋转得到的。

那么，$s,t$是$x,y$顺时针旋转得到的，可得到表达式：
$\left[\begin{array}{cc}cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right]$
这样我们便可明白，$t=-xsin\theta +ycos\theta$，式2给的$t$并不是没有限制的。
直线$-xsin\theta +ycos\theta =t$与$xcos\theta +ysin\theta =s$垂直，因为$(-sin\theta ,cos\theta )\cdot (cos\theta ,sin\theta )=0$。

给定$s,\theta$后，遍历所有$t$便可取到直线$xcos\theta +ysin\theta =s$上的所有$(x,y)$点。

式3

令${\vec{\theta }}^{\perp }=(-sin\theta ,cos\theta )$
将$s\vec{\theta }+t{\vec{\theta }}^{\perp }$展开便得到：$(scos\theta -tsin\theta ,ssin\theta +tcos\theta )$
而函数$f$是一个二元函数，自变量是$x,y$，因此有：
$scos\theta -tsin\theta =x$
$ssin\theta +tcos\theta =y$
这不就是表示$(x,y)$是由$(s,t)$逆时针旋转$\theta$得到的。
因此，式3是式2的向量写法。

式4

令$f_{\theta }(s,t)=f(scos\theta -tsin\theta ,ssin\theta +tcos\theta )$，便得到式4。

式1表示射线源与探测器同时逆时针旋转（射线旋转），物体不动。式2表示物体顺时针旋转，射线不动。