割点与其例题

割点

定义：

若一个点在图中被去掉后，图的连通块个数增加，那么这个点就被称为“割点”。如下图所示红点。

定义说白了就是若去掉一个点，图被“断开”的点称为割点。

朴素算法：

• 枚举每个点 u。
• 遍历图，如果有一个点或多个点遍历不到（遍历期间不能经过点 u），那么 u 就是割点。

时间复杂度：$O(N^2)$。

可作为对拍暴力程序。

正解：Tarjan

定义一些东西：

1. 时间戳：dfs 时表示每个点被遍历到的“时间”，可用一个不断增加的变量实现。记为 $dfn$。
2. 搜索树：dfs 时由遍历到的边组成的树（由于有打标记，所以不会重复访问）。
3. 追溯值：以 u 为根的子树中，所有不经过 u 能够到达的节点的时间戳的最小值。记为 $low$。

关于追溯值：

结合张图来理解：

设红边为搜索树的边，则 $3$ 号点因为有蓝色的边不经过他的父亲 $2$ 号点，直接到达了 $1$ 号点，所以 $lo{w}_3=df{n}_1$。

回归 Tarjan

有一个重要的概念：

一个点 u 如果是割点，那么它的子树中的一些节点 v 的 $lo{w}_v$ 是大等于 $df{n}_u$ 的，因为它到不了上面（上面的意思是搜索树中比 u 更早遍历到的点集）。

显然，$lo{w}_u$ 表示假设断开点 u 孩子们还能遍历到的最早时间戳。

若 $lo{w}_v\ge df{n}_u$ （v 是 u 的孩子），即 v 回不到 u 前，那么就表示 u 是割点。

有 $s$ 个这样的 v 就代表断开 u 可以把原先的连通图变成 $s+1$ 个连通块（u 上方也是一个）。

遍历路上

对于每个点 u，遍历到的儿子 v 有两种可能：

1. $df{n}_v=0$​

说明 v 是新加入搜索树中的节点，那么就先递归下去，用 $lo{w}_v$ 更新 $lo{w}_u$。

即 $lo{w}_u=min(lo{w}_u,lo{w}_v)$。

2. $df{n}_v\ne 0$

说明 v 曾经

被遍历过，是搜索树上 u 的祖先，那么用 $df{n}_v$ 更新 $lo{w}_u$。

即 $lo{w}_u=min(lo{w}_u,df{n}_v)$。

然而上述办法还是有 bug。想想在哪呢？

发现 bug

假设我们搜索树从 $1$ 号点开始遍历，给张图你就懂。

如图。

因为我们是从 $1$ 号点开始遍历的，$1$ 号点是搜索树的根，它哪来的祖先能让孩子们去更新追溯值啊！！！

而图中的 $1$ 号点又显然不是割点。

咋办呢？

解决 bug

特判呗。反正根只有一个。

这时候我们得思考：什么样的情况下根是割点？

反正追溯值做不了了。

那么看看朴素的图吧。

图中 $1$ 号点就是割点。

为啥嘞？

答：因为把它删了后有两个连通块。

正解。

我们记录一下，如果它在搜索树上的儿子不止一个，那么它就是割点。

就这么简单？

就这么简单。

这时候不知道有没有同学有个疑惑和我初学时一样的，如图：

红色的是搜索树边。

图中 $1$ 不是割点啊，但它在树上还真有两个孩子啊？？

如果您一开始没看出来哪儿错了，就点个赞再走吧。

注意到边 $3\to 2$ 和 $1\to 2$。

当我们遍历到点 $3$ 的时候，它就会顺带把 $2$ 号点先遍历了。先遍历到 $2$ 再遍历 $3$ 同理。

所以说搜索树应该为：

或：

OK，下班，看题。

洛谷 P3388 【模板】割点（割顶）。

题意很简略了。就是看看实现。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e4+5,M=1e5+5;
int n,m,ehead[N],cnt_e,low[N],dfn[N],idx,rt,cntans;
bool ans[N];//是否为割点
struct E{int to,pre;
}e[M<<1];
void adde(int from,int to)
{e[++cnt_e].to=to;e[cnt_e].pre=ehead[from];ehead[from]=cnt_e;return;
}
void dfs(int u)
{low[u]=dfn[u]=++idx;int chtree=0;//如果是根的话，它的孩子个数for(int i=ehead[u];i;i=e[i].pre){int v=e[i].to;if(!dfn[v])//不在搜索树上{dfs(v);low[u]=min(low[u],low[v]);if(rt==u)++chtree;if(low[v]>=dfn[u]&&rt!=u&&(!ans[u]))//注意 (!ans[u])。搞不好会重复算 cntans{++cntans;ans[u]=1;}}else//返祖边low[u]=min(low[u],dfn[v]);}if(u==rt&&chtree>1&&(!ans[u])){++cntans;ans[u]=1;}return;
}
int main(){ios::sync_with_stdio(0);cin>>n>>m;for(int i=1,u,v;i<=m;++i){cin>>u>>v;adde(u,v);adde(v,u);}for(int i=1;i<=n;++i)//图不保证联通{if(!dfn[i]){rt=i;dfs(i);}}cout<<cntans<<'\n';for(int i=1;i<=n;++i)if(ans[i])cout<<i<<' ';cout<<'\n';return 0;
}

闲话时间

讲个好玩的，这篇文章是我晚上十一点左右写的，但是：

我来自报家门了。

正题。

Tarjan 算法不光能解决割点的问题，改一改还能当作强连通分量和割边（又称桥）和双连通分量等等。

说到强连通分量，推销一下我的学习笔记不过分吧 qwq。

完结撒花。