Cyrus-Beck算法的计算方法

运算步骤

1. 表示出$P(t)=P_0+t\cdot D$，求解其中的$D=P_1-P_0$
2. 计算每一条边指向多边形内部的法向量$N_i$
3. 对每一条边都进行分组，$N_i\cdot D>0$为Enter ($P_E$)，反之$N_i\cdot D<0$则为Exit ($P_L$)
4. 根据$t=-\frac{N_i\cdot (P_0-A_i)}{N_i\cdot D}$对$t$进行求解。
5. 在$P_E$中寻找最大值，若全为负数则设为0；在$P_L$中寻找最小值，若全为大于1的数则设为1。
6. 将求到的$t_{exit}$ 和 $t_{enter}$带入1中的式子得到裁剪的线段的起点和终点。

例题

• 裁剪窗口：凸五边形，顶点按逆时针顺序为$A(2,1)$、$B(4,2)$、$C(5,4)$、$D(3,5)$、$E(1,3)$。
• 待裁剪线段：$P_0(0,2)\to P_1(6,4)$（从左下到右上）。

(1) 参数化线段

$$\begin{gathered} P(t)=P_0+t\cdot D, \\ D=P_1-P_0=(6,4)-(0,2)=(6,2) \end{gathered}$$

其中$t\in [0,1]$。

(2) 五边形各边的法向量（内法向）

对每条边 $E_i$，计算内法向量 $N_i=(E_{iy},-E_{ix})$（垂直于边并指向内部）：

• 边$AB$：向量 $B-A=(2,1)$，法向量 $N_1=(-1,2)$。
• 边$BC$：向量 $C-B=(1,2)$，法向量 $N_2=(-2,1)$。
• 边$CD$：向量 $D-C=(-2,1)$，法向量 $N_3=(-1,-2)$。
• 边$DE$：向量 $E-D=(-2,-2)$，法向量 $N_4=(2,-2)$。
• 边$EA$：向量 $A-E=(1,-2)$，法向量 $N_5=(2,1)$。

(3) 计算每条边的交点参数 $t$

对每条边$E_i$，计算：
$$\begin{gathered} t=-\frac{N_i\cdot (P_0-A_i)}{N_i\cdot D} \\ 或t=\frac{N_i\cdot (A_i-P_0)}{N_i\cdot D} \end{gathered}$$
注意：$A_i$ 为每条边的起点。

并分类为PE（进入）或PL（离开）。

边	法向量$N_i$	$N_i\cdot D$	$W=P_0-A_i$	$N_i\cdot W$	$t$	分类
AB	$(-1,2)$	$-1\cdot 6+2\cdot 2=-2$	$(0-2,2-1)=(-2,1)$	$-1\cdot (-2)+2\cdot 1=4$	$t=2$	PL
BC	$(-2,1)$	$-2\cdot 6+1\cdot 2=-10$	$(0-4,2-2)=(-4,0)$	$-2\cdot (-4)+1\cdot 0=8$	$t=0.8$	PL
CD	$(-1,-2)$	$-1\cdot 6+(-2)\cdot 2=-10$	$(0-5,2-4)=(-5,-2)$	$-1\cdot (-5)+(-2)\cdot (-2)=9$	$t=0.9$	PL
DE	$(2,-2)$	$2\cdot 6+(-2)\cdot 2=-8$	$(0-3,2-5)=(-3,-3)$	$2\cdot (-3)+(-2)\cdot (-3)=0$	$t=0$	PE
EA	$(2,1)$	$2\cdot 6+1\cdot 2=14$	$(0-1,2-3)=(-1,-1)$	$2\cdot (-1)+1\cdot (-1)=-3$	$t=\frac{3}{14}\approx 0.214$	PE

(4) 分类并确定$t_{\text{enter}}$和$t_{\text{exit}}$

• PE组（进入）：$t=0$（DE边）、$t\approx 0.214$（EA边）。
  $t_{\text{enter}}=\max (0,0.214)=0.214$。
• PL组（离开）：$t=0.8$（BC边）、$t=0.9$（CD边）、$t=2$（AB边）。
  $t_{\text{exit}}=\min (0.8,0.9,2)=0.8$。

(5) 裁剪结果

• 因为$t_{\text{enter}}=0.214\le t_{\text{exit}}=0.8$，线段部分可见。
• 可见部分：
  $P(0.214)=(0+0.214\times 6,2+0.214\times 2)\approx (1.28,2.43)$。
  $P(0.8)=(0+0.8\times 6,2+0.8\times 2)=(4.8,3.6)$。
• 裁剪后线段：$(1.28,2.43)\to (4.8,3.6)$。