2025数维杯数学建模A题完整参考论文（共36页）（含模型、可运行代码、数据）

2025数维杯数学建模A题完整参考论文

目录

摘要 

一、问题重述 

二、问题分析 

三、模型假设 

四、符号定义与说明 

五、 模型建立与求解 

5.1问题1 

5.1.1问题1思路分析 

5.1.2问题1模型建立 

5.1.3问题1求解结果 

5.2问题2 

5.2.1问题2思路分析 

5.2.2问题2模型建立 

5.2.3问题2求解结果 

5.3问题3 

5.3.1问题3思路分析 

5.3.2问题3模型建立 

5.3.3问题3求解结果 

六、模型推广 

七、模型优缺点 

附录1问题1代码 

附录2问题2代码 

附录3问题3代码 

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2025数维杯数学建模竞赛A题完整参考论文（共36页）（含模型、可运行代码、数据）

摘要

本次建模竞赛问题包括三个部分，旨在分析运动员在蹦床运动中的受力情况和疲劳损伤。首先，问题1要求分析一名身高1.75米的运动员在完成“前空翻”动作时，起跳瞬间的发力方向和大小，并探讨发力与身体姿态的关系。为此，我们建立了一个运动员起跳的力学模型，并通过数值模拟验证模型的合理性；问题2则要求分析运动员从蹦床起跳后的飞行和落地过程中的受力情况，特别是空气阻力和蹦床弹性恢复特性对落地冲击力的影响。我们通过建立动力学方程来计算落地时的速度和受力情况，并提出通过调整起跳高度和落地姿势来减少冲击力；问题3涉及多名运动员同时进行蹦床运动时蹦床的受力和疲劳损伤情况，要求建立包含运动员体重和起跳时间等变量的动力学方程，分析如何通过调整起跳时序和体重分布来减少蹦床的疲劳损伤，并对疲劳寿命进行优化。

针对问题1，我们首先通过分析运动员在起跳时产生的力，建立了一个综合考虑发力方向和身体姿态的力学模型。该模型包括运动员垂直和水平方向的力量分解，结合运动员的身体姿态（如四肢的角度、躯干的倾斜程度等）对发力效率的影响。通过数值模拟，我们验证了该模型的合理性，并优化了运动员的起跳策略，使其能够更有效地完成“前空翻”动作。模拟结果显示，调整起跳时的发力角度和身体姿态可以显著提高运动员完成动作的成功率，减少运动员的能量浪费。

对于问题2，我们建立了运动员从蹦床起跳到落地的完整动力学模型。在空中飞行阶段，模型考虑了空气阻力对运动员运动轨迹的影响，尤其是在下落阶段，空气阻力对速度的逐渐减缓起到了关键作用。落地时，蹦床的弹性恢复力与运动员的落地速度相互作用，模型能够精确计算运动员的落地速度以及由此产生的冲击力。通过调整起跳高度和身体姿势（如膝盖弯曲的角度），我们发现可以有效减少落地时的冲击力，减少运动员受伤的风险。

针对问题3，我们构建了一个多运动员的动力学模型，考虑了运动员体重、起跳时间等变变量的影响。在多名运动员同时跳跃的情况下，蹦床的受力情况复杂且变化较大。模型通过模拟每个运动员的起跳时序和体重分布，评估了不同策略下蹦床的疲劳损伤情况。我们提出了一种优化策略，通过合理调整运动员的起跳时序和体重分布来减少蹦床的疲劳损伤，并通过多次模拟验证了该策略的有效性。优化后的策略有效延长了蹦床的使用寿命，并为运动员提供了更加安全的训练条件。

通过对不同运动员的体重、起跳时序等因素的优化，我们成功减少了蹦床的疲劳损伤，延长了其使用寿命。针对不同环境和运动员的变化条件，我们进一步对模型进行了调整和优化，提出了更加细化的训练和设计策略。这些优化不仅提升了蹦床的耐用性，还为运动员的训练安全性提供了理论依据。在实际应用中，这些优化策略可以帮助设计更加耐用的蹦床设备，并为运动员提供更加安全的训练环境，从而提升整体训练效率和安全性。

关键词：运动员发力模型、数值模拟、空气阻力、蹦床弹性恢复、疲劳损伤优化

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一、问题重述

问题1重述：

在本问题中，分析一名身高1.75米的运动员在完成“前空翻”动作时，起跳瞬间的发力方向和大小，并探讨运动员身体姿态对发力的影响。具体来说，模型需要描述运动员如何通过施加垂直和水平方向的力量完成空翻动作，并研究身体姿态对发力效率的作用。我们通过建立数学模型计算力的大小和方向，并使用数值模拟方法验证模型的合理性，以优化运动员的起跳策略，提升动作表现和训练效果。

问题2重述：

本问题要求分析运动员从蹦床起跳后，空中飞行和落地过程中的受力情况，并建立相应的动力学方程，计算运动员落地时的速度和受力。在空中飞行阶段，运动员受重力影响，垂直速度减小，并需要考虑空气阻力对运动的影响。落地时，蹦床的弹性恢复力对运动员反弹有重要作用。我们通过模型计算，探讨如何通过调整起跳高度和落地姿势来减少落地时的冲击力，降低运动员受伤风险。

问题3重述：

本问题研究多名运动员同时进行蹦床运动时蹦床的受力情况和疲劳损伤。每个运动员的体重、起跳时间等因素都会影响蹦床的受力，多个运动员的跳跃叠加可能加剧疲劳损伤。模型需要考虑运动员的体重分布和起跳时序，分析其对蹦床疲劳损伤的影响。基于这些分析，我们提出优化策略，调整运动员起跳时序和体重分配，以减少蹦床的疲劳损伤并延长其使用寿命。

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二、问题分析

问题1：运动员起跳瞬间的发力分析

在问题1中，我们需要分析一名身高为1.75米的运动员在完成“前空翻”动作时，起跳瞬间的发力方向和大小，并探讨发力与运动员身体姿态之间的关系。为了建立相关的数学模型，我们考虑运动员起跳时产生的力主要分为两个方向：垂直方向和水平方向。垂直力用于克服重力，确保运动员能够上升到一定高度，而水平方向的力则决定了运动员的旋转和前进速度。我们需要通过建立模型来计算这些力的大小，并研究如何通过调整运动员的身体姿态（例如肢体的伸展或弯曲）来影响起跳时的发力效果。此外，利用数值模拟方法可以验证模型的合理性，通过模拟不同的起跳参数来评估运动员执行“前空翻”动作的最佳策略。

问题2：运动员飞行与落地过程中的受力分析

问题2要求我们建立运动员从蹦床起跳到落地的动力学方程，并分析运动员在空中飞行和落地过程中的受力情况。运动员从蹦床起跳后，受重力作用进入空中飞行阶段，其垂直速度会逐渐减小并达到最大高度后开始下落。在此过程中，空气阻力和蹦床的弹性恢复特性是两个关键的因素。空气阻力会对运动员的运动轨迹产生影响，特别是在下落阶段，空气阻力减缓了垂直速度的增加。落地时，蹦床的恢复力则与运动员的垂直速度产生反作用力，决定了运动员的反弹行为。通过建立受力分析模型，我们可以计算运动员落地时的速度和受力情况，进一步分析如何通过调整起跳高度和身体姿势（如膝盖的弯曲程度）来减少落地时的冲击力，以达到降低受伤风险的目的。

问题3：多运动员蹦床运动的受力与疲劳损伤分析

问题3涉及多名运动员同时进行蹦床运动的情况，要求建立包含多人体重和起跳时间等变量的动力学方程，并分析不同条件下蹦床的受力情况和疲劳损伤程度。在这个问题中，每名运动员的体重、起跳时间和跳跃力度都会影响蹦床的受力情况，而多个运动员的跳跃动作叠加可能导致蹦床疲劳损伤的加剧。因此，我们需要考虑每个运动员的体重分布和起跳时序，建立一个包含所有运动员的综合受力分析模型。通过模拟不同的起跳时序和体重分布，我们可以计算蹦床在不同情况下的受力变化，并进一步分析疲劳损伤程度。为了减少蹦床的疲劳损伤，我们提出优化策略，通过调整运动员的起跳顺序和体重分布来均衡受力，从而延长蹦床的使用寿命，并通过疲劳寿命预测评估策略的效果。

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5.1.1问题1思路分析

背景描述： 该问题要求我们分析运动员在起跳瞬间所需要的发力方向、大小，以及发力与身体姿态之间的关系。运动员执行“前空翻”动作时，起跳时的力量至关重要，正确的发力方向和合适的力量大小可以帮助运动员完成动作的高质量执行。我们的目标是通过建立一个数学模型来量化这个过程，并探讨如何通过数值模拟验证该模型的合理性。

1. 起跳瞬间发力方向的分析

在运动员起跳的瞬间，发力方向的选择对完成前空翻动作至关重要。运动员需要通过双腿蹬地产生向上的力，并且力的方向应该有一定的倾斜度，以便推动身体在空中旋转。这个发力方向通常是与地面垂直并具有一定的角度，以便提供足够的动力以启动翻转动作。

物理背景： 起跳时，运动员通过双脚与蹦床表面的接触，蹬伸腿部产生向上的弹力，反作用力将运动员向上推动并开始旋转。在这个过程中，运动员的姿态和双腿的蹬伸角度会影响发力的方向。

建模要点： 在建模时，可以假设运动员的重心在起跳时位于身体的中心位置，力的方向可以被分解为垂直方向的力和水平方向的力。垂直力用于提供足够的升力，而水平方向的力则影响翻转的速度和角度。通过分析运动员腿部的动作和姿态（如膝盖弯曲度、脚尖方向等），可以计算出所需的力的方向。

2. 发力大小的分析

在前空翻的动作中，发力的大小直接决定了运动员的起跳高度和旋转速度。跳跃的高度和翻转的速度必须精确匹配才能顺利完成前空翻动作。过大的力量可能会导致过高的起跳和旋转过快，而过小的力量则无法完成翻转。

物理背景： 起跳时，运动员的腿部力量将通过蹦床传递到身体，蹦床的弹性恢复性和运动员的发力强度相结合，产生一个初速度和合适的向上推力。通过计算力的大小，我们可以确定运动员需要多大的蹬伸力才能产生足够的向上和旋转的动能。

建模要点： 对于力量的大小，可以考虑运动员的体重、腿长、蹦床的弹性系数等因素。这些参数将影响到起跳时所需的力。可以通过运动员的身体特征和蹦床的物理属性来推算出发力的大小，从而达到合理的起跳效果。

3. 发力与身体姿态的关系

身体姿态对发力的有效性起着至关重要的作用。在起跳时，运动员的腿部动作（如蹬地的角度、膝盖弯曲的角度等）和上半身的姿势（如上肢和头部的动作）都会影响起跳的效率和旋转的角度。良好的姿态可以使得发力更加有效，避免因姿态不良而浪费力量。

物理背景： 运动员在起跳时需要协调腿部和上半身的动作，腿部发力与上身姿态之间的配合非常重要。例如，腿部的蹬地力需要与身体的重心位置、上半身的姿势（如身体的弯曲程度、手臂的摆动等）相协调，这样才能在提供足够升力的同时，也确保运动员的旋转角度适合完成前空翻。

建模要点： 需要对运动员的身体姿态进行建模，考虑腿部与上半身的协同作用。可以通过运动员的起跳姿势（如腿部弯曲的角度、上半身的倾斜角度等）来推算出最佳的发力方向和大小。模型需要反映出力的传递路径，以及身体各部分的协调性对发力效果的影响。

4. 数值模拟的验证

建立了力学模型后，使用数值模拟方法对模型的合理性进行验证是非常重要的一步。数值模拟可以通过计算和仿真来预测运动员在起跳过程中的动作轨迹、发力情况以及可能的动作效果。模拟的结果可以帮助我们检查理论模型是否符合实际情况。

模拟工具： 可以使用一些物理仿真软件或编程语言（如MATLAB、Python等）进行数值模拟，通过输入运动员的参数、力学模型和起跳姿势来计算运动员的起跳效果。模拟结果将帮助我们评估模型的精确性，并进行必要的调整。

5.2.1问题2思路分析

问题2要求我们分析运动员从蹦床起跳后在空中飞行和落地过程中的受力情况，建立动力学方程，确定落地时的速度和受力情况，并讨论如何通过调整起跳高度和落地姿势来减少落地时的冲击力。

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1. 飞行过程中的受力分析

运动员从蹦床起跳后，处于空中飞行阶段。在此阶段，运动员主要受重力作用，且假设忽略空气阻力。运动员的受力情况可以简化为：

重力：在空中，运动员会持续受到地球的引力，导致下落。重力大小与运动员的质量成正比，方向垂直向下。

飞行速度的变化：重力作用下，运动员的垂直速度逐渐减小，直到达到最高点，此时垂直速度为零。然后，随着下落过程的开始，垂直速度逐渐增加。水平速度通常保持恒定，假设没有水平力的作用（如空气阻力被忽略）。

2. 落地过程中的受力分析

当运动员落地时，受力情况变得复杂。除了继续受到重力作用外，运动员与蹦床表面之间的相互作用也会引入其他力。落地过程的主要受力因素包括：

重力：运动员在落地时仍然受到重力作用，继续向下施加力。

蹦床的弹性恢复力：蹦床的垂直刚度决定了其恢复力的大小。当运动员与蹦床接触时，蹦床会产生反弹力，帮助运动员向上弹起。此力的大小与蹦床的压缩量（运动员与蹦床的接触深度）成正比。

地面反作用力：当运动员接触到蹦床时，会产生与运动员下落速度相反的反作用力，这个力就是落地时的冲击力。

3. 动力学方程的建立

在飞行过程中，运动员的动力学方程可以通过牛顿第二定律来描述。假设忽略空气阻力，运动员在垂直方向上的受力主要是重力作用，而在水平方向上没有力作用，因此水平方向的速度保持恒定。

当运动员落地时，蹦床的恢复力与重力共同作用，导致运动员受到的冲击力增大。此时，动力学方程需要同时考虑重力和弹性恢复力。在这个阶段，运动员与蹦床的接触时间很短，冲击力会迅速增大，且可能导致运动员受伤或不适。

4. 落地时速度和冲击力的确定

在运动员从空中下落并接触蹦床时，我们需要计算运动员的落地速度和冲击力：

落地速度：落地前，运动员的垂直速度可以通过前期的加速度和时间进行积分计算。假设运动员从最高点开始下落，落地前的速度可以由重力加速度和下落时间计算得到。

冲击力：冲击力与运动员的落地速度和蹦床的弹性特性（垂直刚度系数）有关。蹦床的刚度决定了其能够提供多大的反弹力。更强的弹性恢复力可以减缓运动员的下落速度，减少冲击力。

5. 减少落地时冲击力的策略

为了减少运动员落地时的冲击力，主要可以从以下几个方面进行调整：

调整起跳高度：起跳的高度直接影响运动员在空中飞行的时间和下落的速度。通过控制起跳时的发力，可以调节跳跃的高度，从而影响落地时的速度。较高的跳跃使得运动员的下落时间增加，有助于减少瞬间的冲击力。

调整落地姿势：落地姿势的调整对减少冲击力至关重要。通过改变身体的姿态，运动员可以在落地时增加身体与蹦床的接触时间，从而分散冲击力。具体来说，运动员应尽量保持膝盖微屈的姿势，缓解冲击力。此外，运动员的上半身应适当放松，避免硬直的姿态，使得冲击力均匀分布。

使用更高弹性的蹦床：通过增加蹦床的垂直刚度系数，运动员与蹦床的接触时间可以缩短，从而减少落地时的冲击力。较高的弹性恢复力有助于缓解落地时的反作用力。

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5.3.1问题3思路分析

问题3要求我们分析多名运动员同时进行蹦床运动时，蹦床的受力情况和疲劳损伤程度。我们需要考虑多个运动员的体重、起跳时间等变量，并根据这些条件建立动力学方程。同时，要求提出一种使蹦床疲劳损伤最小的策略，并预测该策略前后蹦床的疲劳寿命提升效果。

1. 多名运动员的动态行为分析

多名运动员同时在蹦床上运动时，每个运动员的体重、起跳时间、起跳力度等因素都会对蹦床的受力产生影响。每个运动员的跳跃将影响蹦床的整体动态行为，尤其是其弹性恢复力和与其他运动员的互动。

受力分析：

体重影响：每个运动员的体重决定了其下落时的重力大小，因此每个运动员的体重将直接影响蹦床在运动员落地时受到的压力。体重越大，运动员下落时产生的冲击力越大，导致蹦床的压缩量越大。

起跳时间影响：不同运动员的起跳时间对蹦床的受力情况也有重要影响。每个运动员的起跳不仅依赖于自身的力量，还与其他运动员的起跳时序相关。所有运动员必须在落地者之前起跳，这样可以避免多个运动员同时落地造成的压力峰值。

2. 蹦床受力情况建模

当多个运动员在蹦床上运动时，蹦床的受力将变得更加复杂。每个运动员的起跳和落地都会对蹦床施加力，导致蹦床产生不同程度的压缩。

动力学方程：

对每个运动员，首先需要根据其体重和起跳时序来建立受力方程。运动员的起跳力、体重、蹦床的刚度等因素共同决定了运动员对蹦床的压力大小。

蹦床的受力是由所有运动员的作用力叠加而成的。每个运动员的落地时间、起跳角度、起跳力度等会影响蹦床的压缩量，从而影响蹦床的恢复力。

使用多个运动员的动态方程求解出蹦床每时刻的受力情况，包括蹦床的压缩量、恢复力及其变化趋势。

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3. 疲劳损伤分析

蹦床的疲劳损伤是由于多次受力造成的材料逐渐损耗。每次运动员的落地会使蹦床受到一次力的作用，蹦床的表面会产生一定的压缩和变形。这些变形会随着次数的增加逐渐积累，最终导致蹦床疲劳破坏。

疲劳损伤的计算：

疲劳损伤模型：可以使用矿山法（Miner’s Rule）等疲劳损伤模型来计算蹦床在多次受力作用下的损伤程度。每次受力的幅值、频率和作用时间都会影响蹦床的疲劳寿命。

压缩和恢复的循环次数：蹦床在每次运动员落地时会经历压缩和恢复的过程，每一次压缩和恢复都会对蹦床的疲劳寿命产生影响。通过累积计算每次受力的影响，得到蹦床的疲劳损伤度。

4. 减少蹦床疲劳损伤的策略

为了减少蹦床的疲劳损伤，可以采取以下几种策略：

优化运动员的起跳时序：通过优化运动员的起跳时序，避免多个运动员在同一时刻落地。通过合理安排每个运动员的起跳时间，可以分散蹦床的受力，减少压力峰值，从而减轻蹦床的疲劳损伤。

调整运动员体重分布：虽然体重是固定的，但可以通过训练使得不同体重的运动员合理分配，避免多个重体重运动员同时进行高强度跳跃。轻体重运动员和重体重运动员的交替跳跃有助于减轻蹦床的压力。

增加蹦床的弹性恢复能力：通过设计更加弹性的蹦床，可以减缓每次跳跃时的压力波动，减少材料的疲劳损伤。更高的垂直刚度系数将有助于提高蹦床的耐用性。

5. 疲劳寿命预测

通过使用上述疲劳损伤模型和受力计算方法，可以预测在不同策略下，蹦床的疲劳寿命。通过与不采取优化策略时的疲劳寿命进行比较，评估提出的策略对蹦床寿命的提升效果。

疲劳寿命提升：

优化策略的比较：通过对比不同起跳时序和体重分布的策略，分析哪种策略能有效减少蹦床的疲劳损伤，延长其使用寿命。

模拟结果：基于模拟的结果，可以得出采取优化策略后蹦床的疲劳寿命比没有优化策略时的寿命增长了多少。