非对称加密：为什么RSA让“公开传密”成为可能
在1977年之前，加密世界遵循一个铁律：想要安全通信，必须先秘密交换密钥。无论是凯撒密码还是二战时的恩尼格玛机，都依赖发送方和接收方预先共享同一把“钥匙”。但RSA算法的出现颠覆了这一规则——它让陌生人可以在完全公开的环境下建立安全通信，而无需事先约定任何秘密。
今天，RSA（Rivest-Shamir-Adleman）算法支撑着HTTPS、数字签名、SSH等关键技术，成为现代互联网的加密基石。但它是如何做到“公开传密”的？背后的数学原理又是什么？
一、非对称加密
非对称加密，也称为公钥加密，是一种使用一对密钥（公钥和私钥）进行加密和解密的密码学方法。与对称加密（如 AES）不同，非对称加密的公钥和私钥在数学上相关，但不能互相推导，使得通信更安全。
- 公钥（Public Key）：公开给所有人，用于加密数据或验证签名。
- 私钥（Private Key）：严格保密，用于解密数据或生成签名。
类比：想象一个带锁的邮箱，任何人都能往里面投递信件（公钥加密），但只有你有钥匙能打开查看（私钥解密）。
二、RSA秘钥的生成过程
1、选择两个大质数 p p p 与 q q q
2、两个大质数相乘得到 N = p × q N = p \times q N=p×q
3、计算欧拉函数 ϕ ( p , q ) = ( p − 1 ) × ( q − 1 ) \phi(p,q) = (p-1) \times (q-1) ϕ(p,q)=(p−1)×(q−1)
4、选择公钥 E E E ， E E E 需要满足 （1） 1 < E < ϕ ( p , q ) 1 < E < \phi(p,q) 1<E<ϕ(p,q) （2） E E E 与 ϕ ( p , q ) \phi(p,q) ϕ(p,q) 互质，即 G C D ( E , ϕ ( p , q ) ) = 1 GCD(E,\phi(p,q)) = 1 GCD(E,ϕ(p,q))=1
5、获得私钥 D D D， D D D 需要满足 ( D × E ) % T = 1 (D \times E) \% T = 1 (D×E)%T=1
注意： E E E 和 D D D 都不需要是质数
最终秘钥
- 公钥：
(E, N) - 私钥：
(D, N)
举个例子
1、选择两个质数 61 和 67
2、计算模数 N = 61 * 67 = 4087
3、计算欧拉函数 ϕ \phi ϕ = 60 * 66 = 3960
4、选择公钥 E = 17
5、获得私钥 D = 233
获得公钥 (17,4087) 私钥 (233, 4087)
三、如何加密解密
假设我现在要加密一个单词 DOG，可以发现他的ASCII码是 68 79 71 。那么用公钥加密也是一件简单的事情。
加密：
| 明文 m m m | 加密 c = m E mod N c = m^E \ \text{mod} \ N c=mE mod N | 密文 c c c |
|---|---|---|
| 68 | 6 8 17 mod 4087 68^{17} \ \text{mod} \ 4087 6817 mod 4087 | 3284 |
| 79 | 7 9 17 mod 4087 79^{17} \ \text{mod} \ 4087 7917 mod 4087 | 453 |
| 71 | 7 1 17 mod 4087 71^{17} \ \text{mod} \ 4087 7117 mod 4087 | 4085 |
获得加密后的密文 3284 453 4085。
解密：
| 密文 | 解密 m = c D m o d N m= c^{D} \ mod \ N m=cD mod N | 明文 m m m |
|---|---|---|
| 3284 | 328 7 233 mod 4087 3287^{233} \ \text{mod} \ 4087 3287233 mod 4087 | 68 |
| 453 | 45 3 233 mod 4087 453^{233} \ \text{mod} \ 4087 453233 mod 4087 | 79 |
| 4085 | 408 5 233 mod 4087 4085^{233} \ \text{mod} \ 4087 4085233 mod 4087 | 71 |
明文公钥加密后被私钥破解。
四、为什么非对称加密难以破解
RSA加密的核心在于于大整数的质因数分解问题。公钥包含模数 N = q * p ， p 和 q 是大质数，而私钥需要知道这两个质数才能计算。所以破解 RSA 就约等于分解 N，但对于足够大的 N即使是超级计算机也需要数万年才能计算成功，目前没有已知的高效算法可以在多项式时间内分解大整数。
- RSA-1024：曾被认为是安全的，但现代计算能力已能威胁它（需要数月到数年）。
- RSA-2048：当前标准，破解需要 1 0 20 10^{20} 1020 年（远超宇宙年龄）。
- ECC-256：等效于RSA-3072的安全性，但密钥更短、计算更快。
五、RSA的局限性
计算量大，通常仅用于密钥交换或签名，而非加密大量数据（实际结合AES等对称加密使用）
Shor算法能在量子计算机上快速分解大数，威胁RSA安全（后量子密码学正在发展）