数学复习笔记 3
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《有人懂你》赵十三
前言
也别开始强化吧，复盘前面复习过的内容，可能是更稳的方式。
无穷级数
写无穷级数的例题。感觉自己真的学会了么，我生怕一写一个不吱声了。呜呜呜。这一章有 27 个例题。我从最后一个例题开始写吧。感觉从头开始写总是写不到后面就没有时间了。今天把这 27 个例题写完再睡觉。不管写到几点。
27
求幂级数的收敛域，判断幂级数是否缺项，只要系数不是零，就表示不缺项，然后就可以用系数之比的极限算出 ρ \rho ρ ，然后根据 ρ \rho ρ 的情况判断收敛域。
| ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞) | R = 1 ρ , ( − R , R ) R=\frac{1}{\rho},(-R,R) R=ρ1,(−R,R) |
|---|---|
| ρ = 0 \rho=0 ρ=0 | R = + ∞ , ( − ∞ , + ∞ ) R=+\infty,(-\infty,+\infty) R=+∞,(−∞,+∞) |
| ρ = + ∞ \rho=+\infty ρ=+∞ | R=0,{0} |
还需要单独考虑端点。判断端点的敛散性，还有点难度。。。我服了。判断收敛发散我忘光了。我还是从第一个题开始写比较好。我可能属于那种学得快忘得快的类型，好吧其实不是，我属于那种学得慢，忘得快的废物类型。得多努力了。不然废完了真的。
1
多写几项，裂项相消，然后求个极限就是最后的级数的和。比较简单。
2
利用对数的性质，可以消除几项，然后算出来最后的一项是发散的，整体就是发散的。奥，看了答案，直接不拆开，直接算，然后合起来，更加直观。
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写完这个题睡觉了。还得是白天努力。晚上熬夜努力算啥啊。早睡早睡早睡！！！这题有点蒙了。总结的结论是，等比级数，|q| < 1 时收敛，其他情况发散。熬夜能明显感受到脑子转不动。早睡。。。
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今天晚上十点就睡觉。早睡。极端一点好了。这题主要是考察加括号和一些简单的性质。假设一个级数收敛，加括号之后还是收敛的。但是反过来不行。也就是说，假设原级数收敛是 A ，级数加括号之后收敛是 B, 那么 A ⇒ B A\Rightarrow B A⇒B, 但是 B ⇏ A B \nRightarrow A B⇏A。前面的有限项不影响级数的敛散性，这个实际上反映到现实生活中，就是哪怕过往不堪回首，我们还是有机会，可以发挥我们自己的能力，过得精彩。两个发散的级数的和，可能是收敛的。反过来说，两个级数的和是收敛的，那么拆开可能两个级数都是发散的。准备连续刷三遍这章的例题。本来想极端一点，刷十遍，但是感觉边际效应太明显。算了，疯狂一把，还是刷十遍吧，没什么大不了的，别矫情，干就完了。
5
比较审敛法
大的收敛，小的收敛，小的发散，大的发散。害，当时确实五种充分条件记得非常非常清楚，现在确实忘掉了。注意这里的充分条件都是针对正项级数而言的。
极限审敛法
是上面比较审敛法的极限形式，还是大的收敛，小的收敛，小的发散，大的发散，假设两者的通项的比值的极限是一个常数，假设这个常数属于 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞) ，那么两个级数的敛散性一致。
常用级数
∑ n = 1 ∞ 1 n l n p n \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nln^pn} n=1∑∞nlnpn1，p > 1 时收敛。
几何级数
等比级数， ∑ n = 0 ∞ a q n \sum_{n=0}^{\infty}aq^n n=0∑∞aqn
|q| < 1, 级数收敛。
总结
这两天看了《兄弟》，有些感慨，家里也有一些事，让我有点烦恼。和朋友交流了一下，还是得多花时间在初试上面，其他的事情，对我来说都不是最重要的事儿。尤其是现阶段。好好复习初试。
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用等价无穷小，抓大头，放缩等方法，就可以证明级数的敛散性。
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七种未定式是否记得，就是零比零，无穷比无穷，零乘以无穷大，无穷大减去无穷大，一的无穷，无穷的零次方，零的零次方。无穷乘以一个数字，只有乘以零是未定式，未定式可能是任何结果，假设结果是零，表示乘的数字是零，但是一个级数的通项是零，不是级数收敛的充分条件，只是级数收敛的必要条件。
级数收敛蕴涵最后的通项为零，然后未定式的结果是未知的。无穷大乘以零是未定式。
比值判别法
后面一项比上前面一项，假设小于一，收敛，大于一，发散，除此之外都是不确定。
根值判别法
对通项公式开 n 次方，小于一收敛，大于一发散，除此之外未知。凝练的信息还是比较不错的。我实际上不是追求做多少题，健身也不是追求推多大的重量，做题是为了总结一些经验，提升自己的解题能力，健身是为了控制肌肉让肌肉在锻炼的过程中变得健美。
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比值判别法秒了。
第二问稍微求了一下极限。也没啥难度。
积分判别法
注意这几个部分都是正项级数。积分判别法就是级数和变限积分的敛散性一致。
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用积分判别法，然后就是求变限积分，变限积分和级数的敛散性一致。
交错级数
除了系数，正项级数部分要求单调递减，并且最后的通项的极限为零，实际上所有的收敛的级数都有通项的极限为零这个要求。
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证明单调直接求导看导数的正负就好了。非常简单。
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做任何重要漫长的事，都要稍微放慢速度，仔细做，慢工出细活，以前看一部电影，《生死狙击》，主角说，慢才能稳，稳才能快。非常有道理。这题比较复杂，首先要化简级数，然后拆开，一个直接看出来发散，另一个根据交错级数的方法算出来收敛，收敛 + 发散是发散，所以最后的答案是发散。总结就是结合两种方法。交错级数的算法和两个级数的和的敛散性的判断。
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现在专业课进度不算快，然后数学的进度还算不错。政治英语的进度有点没跟上。但是不重要，可能英语还算比较重要，英语数学和专业课。好好学。明天再加一个英语笔记。每篇笔记要求至少三千字，不然就硬憋到三千字以上再上传。绝对收敛表示原来级数，还有加个绝对值，都是收敛的，条件收敛就是原来级数是收敛的，但是加个绝对值是发散的。还有一条性质，加上绝对值之后收敛，原来的级数也是收敛的。
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这个题实际上就是给原来的级数加个绝对值。加绝对值之后是正项级数，然后放缩，假设算出来收敛，就是绝对收敛，绝对值收敛，原来的级数也是收敛的。放缩是利用了正弦函数的函数值小于一这个性质。
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这题比较巧妙，加减法可以拆开来看。前面部分可以判断绝对收敛，那么原来的级数也是收敛的，另一个部分是发散的，收敛 + 发散是发散的。前面判断绝对收敛还是使用了上题的放缩，总结就是以后看到正弦函数，可以考虑放缩。放缩之后可以用比较审敛法，大的收敛，小的收敛。小的发散，大的发散。
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求导这块我遇到点困难，实际上这题交错级数不是用求导来解决问题。。。实际上是考虑等价无穷小来解决问题。我有点懵逼了，交错级数不用看单调性和极限值了么，直接等价无穷小，然后 p 级数就完事？这是什么操作。奥我明白了，这个表面上是交错级数，实际上加了绝对值之后，负号没了，我自己做的时候只在正项级数部分加了绝对值，实际上是所有部分都要加绝对值。这算是一个精美的包装吧。然后算出来绝对值收敛之后，就是绝对收敛，就结束了。
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这题秒不了。乍一看蒙了。算是前十六个题里面最难的一题。操作太秀了。 a n < b n , ∑ n = 1 ∞ a n , ∑ n = 1 ∞ b n 均收敛 a_n<b_n,\sum_{n=1}^{\infty} a_n,\sum_{n=1}^{\infty} b_n\text{均收敛} an<bn,n=1∑∞an,n=1∑∞bn均收敛
可以推导出 ∑ n = 1 ∞ b n − a n 绝对收敛，实际上就是因为是正的，加不加绝对值都是一致的。就把这个条件藏了一下。 \sum_{n=1}^{\infty}b_n-a_n\text{绝对收敛，实际上就是因为是正的，加不加绝对值都是一致的。就把这个条件藏了一下。} n=1∑∞bn−an绝对收敛，实际上就是因为是正的，加不加绝对值都是一致的。就把这个条件藏了一下。
数学题就是有点喜欢藏，有点中国的含蓄美。
最后
明天开始好好复习数学，专业课，英语。每篇笔记争取三千字以上。凑到三千字就上传。