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计算广告-广告智能出价原理-出价的数学建模

news 来源：原创 2025/5/7 7:42:03

对于互联网广告系统而言，其核心问题便是广告与用户流量的精准匹配，以最大化流量的售卖效率。在当前ocpx的广告售卖产品中，我们的目标是最大化平台的收入，并且最大化广告和流量的匹配，这涉及到对竞争环境的出价建模，本系列将介绍计算广告中智能出价原理，主要分为两部分：

出价的数学建模
出价的工业系统设计

本部分将介绍出价的数学建模

广告出价模块发展

对一个完整的互联网广告系统来说，其核心问题便是广告与用户流量的精准匹配，以最大化流量的售卖效率。按照计费模式广告可分为CPT 广告， CPM 广告，CPC 广告，CPA 广告等。 CPT广告由于是包断广告，不涉及考核指标，其它广告类型中，广告主有一定的考核指标，如 CPM，CPC，CTR，CVR，ROI，CPA等。 CPM 广告中，按千次展示计费，不涉及效果问题。 CPC 广告中，只有当投放的广告被用户点击时，平台才能像广告主收费，因为广告平台会投放 CTR 相对高的广告（实际情况中一般是 CTR * CPC更高）来使平台收益最大化。因此产生了 CTR 预估问题。 CPA 广告与 CPC 类似，产生了转化率预估的问题。在固定出价的阶段，人们观测到，相对于CPM，追求效率的广告主其实更偏好CPC，因为CPC模式下，虽然出价固定，但是实际的竞价跟流量与广告的相关程度密切相关，即使广告主出了一个较高的出价，也不会拿到太多质量较差的流量，而CPM模式则无法避免。但是CPC模式虽然解决了广告主在低质流量上竞价过高的担忧，但并不能让广告主获得更多的高价值流量。举个例子，广告主在流量包出价1元每次点击，流量包中的某个优质流量需要广告主出价2元才能获得；在这种情况下，为了获得这个流量，广告主要么对流量包整体提高出价，即使这意味着可能会提高低质流量的比例；要么寻找一个新的更优质的流量包，包含该优质流量，对于广告主来说，在缺少数据的情况下，仅仅依赖平台提供的工具，通常不那么容易。因此，广告平台洞察了广告主的这种诉求，适时地对出价模块进行了一次调整，在固定出价的基础上，增加了智能调价的模式。在在这种模式下，与固定出价一样的是，广告主预先设定一个出价上限；系统会根据流量的某种价值，在出价上限的范围内，对出价进行调整。这其实引入了一类基础的出价优化问题，即在0到出价上限的范围内，通过出价的调整，最大化流量的某种价值。通过出价优化，实现低质流量上低出价，优质流量上高出价，从而降低广告主低质流量的担忧，提高自己的出价上限。在产品形式上，智能调价类产品开始以OCPX（Optimized CPX）的形式开始出现，将价值锚定到某种可预估的指标上（比如后链路的转化）等，激励广告主进行出价上限的提高，并验证指标的提升。自动出价还带来了另一个变化：出价与计费的剥离。回顾一下计价公式：

$- CPM: bid_{cpm} / 1000 \\ - CPC: bid_{cpc} * pctr \\ - CPA: bid_{cpa} * pctr * pcvr$

对于智能出价场景来说，出价不再由广告主决定，因此广告平台可以选择任意一种竞价公式进行计算，而无需考虑具体的计费方式。也就是平台方可以以CPA的计费方式进行竞价计算，但是扣费可以使用CPM和CPC的方式进行扣费。在这种情况下计费方式和竞价方式解耦，无需为不同计费方式单独定制两套逻辑。

出价的数学建模

我们以“不超预算，不超成本，最大转化”这一经典问题为例子进行最优出价范式的推导介绍。将出价问题看成是曝光选择问题，假设给定所有的可参竞集合，广告主需要选择哪些请求竞胜取得的曝光能够获得最优，具体建模方式如下。假设x_i表示请求i是否竞胜，0表示竞败，1表示竞胜，CTR_i, CVR_i表示该请求竞胜后该请求的点击率和转化率，c_i表示竞胜时的扣费，此处为二价扣费，B表示预算，C表示成本。我们以“不超预算，不超成本，最大转化”这一经典问题为例子进行最优出价范式的推导介绍。

此时我们需要优化：

$max \sum\limits_{i = 1...N} x_i * CTR_i * CVR_i\\ s.t \sum\limits_{i = 1...N} x_i * c_i <= B\\ \frac{\sum\limits_{i = 1...N} x_i * c_i} {\sum\limits_{i = 1...N} x_i * CTR_i * CVR_i} <= C \\ 0 <= x_i <= 1$

对偶问题求解

引入拉格朗日乘子：设对x_i进行求导可得由上式可得带入对偶问题可得：当满足KKT条件时，原始问题的解和对偶问题的解是等价的。

$min_{x_i} max \sum\limits_{i = 1...N} x_i * CTR_i * CVR_i + \alpha (\sum\limits_{i = 1...N}x_i * c_i - B) + \beta (\sum\limits_{i = 1...N}x_i * c_i - C * \sum\limits_{i = 1...N}x_i * CTR_i * CVR_i) + \lambda_i (\sum\limits_{i = 1...N} x_i - 1) + \theta_i \sum\limits_{i = 1...N}(-x_i)$

设

$L = \sum\limits_{i = 1...N} x_i * CTR_i * CVR_i + \alpha (\sum\limits_{i = 1...N}x_i * c_i - B) + \beta (\sum\limits_{i = 1...N}x_i * c_i - C * \sum\limits_{i = 1...N}x_i * CTR_i * CVR_i) + \lambda_i (\sum\limits_{i = 1...N} x_i - 1) + \theta_i \sum\limits_{i = 1...N}(-x_i)$

对x_i进行求导可得

$\frac{\partial L} {\partial x_i} = CTR_i * CVR_i + (\alpha + \beta) * c_i - C * \beta * CTR_i * CVR_i + \lambda_i - \theta_i = 0$

由以上公式可得

$\theta_i = CTR_i * CVR_i + (\alpha + \beta) * c_i - C * \beta * CTR_i * CVR_i + \lambda_i$

带入对偶问题可得：

$min\ \ \alpha * B + \sum\limits_{i = 1} \lambda_i\\ s.t\ \ \lambda_i >= CTR_i * CVR_i - (\alpha + \beta) * c_i + C * \beta_i * CTR_i * CVR_i\\ \alpha >= 0, \forall i\\ \beta >= 0, \forall i\\ \lambda_i >= 0, \forall i\\$

当满足KKT条件时，原始问题的解和对偶问题的解是等价的。

最优出价求解

根据互补松弛定律，x*达到最优状态时，如下式子成立，

$( CTR_i * CVR_i - (\alpha^* + \beta^*) * c_i + C * \beta_i^* * CTR_i * CVR_i - \lambda_i^*)x_i^* = 0\ \ \ (1)\\ (x_i^* - 1) * \lambda_i^* = 0\\ \alpha^* (\sum\limits_{i = 1...N}x_i^* * c_i - B) = 0\\ \beta^* (\sum\limits_{i = 1...N}x_i^* * c_i - C * \sum\limits_{i = 1...N}x_i^* * CTR_i * CVR_i) = 0\\$

是最优状态下的取值我们将(1)简化为：

$x_i^* * (((\alpha^* + \beta^*))(\frac{1+C * \beta_i^*}{\alpha^* + \beta^*}CTR_i * CVR_i - c_i) - \lambda_i^*) = 0$

当 x*=1 即广告竞胜，那么 $((\alpha^* + \beta^*))(\frac{1+C * \beta_i^*}{\alpha^* + \beta^*}CTR_i * CVR_i - c_i) - \lambda_i^* = 0$ 由 $\lambda_i > 0, \alpha >0, \beta > 0$ 可得 $\frac{1+C * \beta_i^*}{\alpha^* + \beta^*}CTR_i * CVR_i - c_i > 0$ ，那么我们让出价可以保证此次竞胜。同理如果广告无法竞胜，可以证明出价 $b_i = \frac{1+C * \beta_i^*}{\alpha^* + \beta^*}CTR_i * CVR_i$ 此次不竞胜。