第八章--图
定义
类比前面所学的线性表和树，图就是多对多的关系。
再详细点的定义就是：图由顶点集合V（G）和边集合E（G）组成。顶点集合V（G）是一组元素的集合，这些元素称为顶点（或节点）；边集合E（G）是由顶点对组成的集合，这些顶点对表示顶点之间的关系，称为边。
相关概念
有向图：边有方向。
无向图：边无方向。
加权图：每条边都赋予一个权重（可以是表示距离、成本、时间等的数值）。
子图：设 G=(V,E) 是一个图，G'=(V',E')，如果V' V且E'
E，则称 G' 是 G 的子图。
例如：
邻接：顶点间有边相连，称顶点间有邻接关系。
出度、入度与度：有向图中一个点的出度是指由该顶点射出的有向边的条数，入度就是射入该顶点的条数du；对于无向图，度就是邻接于该点的边的总数。
简单图：一种特殊的无向图，1）图中没有自环，即不存在一条边的两个端点是同一个顶点；2）图中任意两个顶点之间最多只有一条边相连。
多重图：允许存在平行边的图，即图中可以有多个边连接同一对顶点；允许多重图存在自环。
无向完全图：无向图中任意两个不同的顶点之间都存在一条无向边，边数为。
有向完全图：边数为。
路径：在图G=(V,E)中，从顶点 到顶点
的路径是一个顶点序列
，使得对于
，
是图G中的边。如果图是有向图，那么路径中的边必须按照箭头所指的方向依次连接。路径可以分为简单路径和基本路径。简单路径是指路径中所有的边都不相同；基本路径是指路径中所有的顶点都不相同（除了起点和终点可能相同）。
回路：一条特殊的路径，它的起点和终点是同一个顶点。回路也可分为简单回路和基本回路。简单回路是指回路中所有的边都不相同；基本回路是指除了起点和终点相同外，其余顶点都不相同的回路。
图的存储方式
邻接矩阵表示法
直接看图：顶点用一维数组存储，矩阵上的索引代表顶点，矩阵里存储的信息代表边（1为二者有连线否则无关联）
主要是看行标。
加权邻接矩阵表示法
其实与邻接矩阵表示法没什么太大区别，不过是把矩阵里存储的信息改为权值，有权值则一定有边，无穷则代表无边。
邻接表
顶点依然用一维数组存储，边由同一个顶点出发的所有边组成的一条单链表。
逆邻接表
顶点保存该顶点的射入边形成的单链表的首节点地址。
图的遍历
访问邻接点：
1、DFS--栈（深度优先）
2、BFS--队列（广度优先）
连通图
无向图的连通性
连通图：在无向图中，如果从顶点u到顶点v存在路径，则称顶点u和v是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，那么这个无向图就被称为连通图。
连通分量：非连通图可以分解为多个连通的子图，这些极大连通子图称为连通分量。
有向图的连通性
强连通图：在有向图中，如果对于任意两个顶点u和v，既存在从u到v的路径，又存在从v到u的路径，则称该有向图是强连通图（意思就是双向的）。
强连通分量：非强连通的有向图可以划分为多个极大强连通子图，这些子图称为强连通分量
弱连通图：如果忽略有向图中边的方向后得到的无向图是连通的，则称该有向图为弱连通图（意思就是单向的）。
图的连通性判定方法
1）对于无向图，可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法从任意一个顶点出发，遍历图中的所有顶点。如果能够访问到图中的所有顶点，那么该图是连通图；否则，图是非连通图。
2）对于有向图，判定强连通性可以通过计算图的强连通分量来实现。常用的算法有 Kosaraju 算法、Tarjan 算法等。这些算法通过对图进行深度优先搜索，利用顶点的访问顺序和回溯信息来识别强连通分量。
小结
- 图的定义：图由顶点集合 V(G) 和边集合 E(G) 组成，体现多对多关系，顶点集合是元素集合，边集合由顶点对组成表示顶点关系。
- 相关概念
- 图的类型：有向图边有方向，无向图边无方向，加权图每条边有权重，子图满足顶点和边集合分别是原图的子集。
- 顶点关系：顶点间有边相连为邻接；有向图顶点有出度（射出边条数）和入度（射入边条数），无向图顶点的度是邻接边总数。
- 图的种类：简单图无自环且顶点间最多一条边；多重图允许平行边和自环；无向完全图任意两不同顶点有边相连；有向完全图任意两不同顶点有双向边。
- 路径与回路：路径是顶点序列，有向图路径边按方向连接，分简单路径（边不同）和基本路径（顶点不同，起点终点可同）；回路是起点终点相同的路径，分简单回路（边不同）和基本回路（除起点终点相同外顶点不同）。
- 图的存储方式
- 邻接矩阵表示法：顶点用一维数组存储，矩阵索引代表顶点，矩阵存储边信息（1 表示有连线，0 表示无关联）。
- 加权邻接矩阵表示法：与邻接矩阵类似，矩阵存储边的权值，无穷表示无边。
- 邻接表：顶点用一维数组存储，边由同一顶点出发的边组成单链表。
- 逆邻接表：顶点保存射入边形成的单链表首节点地址。
- 图的遍历：包括深度优先搜索（DFS，借助栈）和广度优先搜索（BFS，借助队列），用于访问邻接点。
- 图的连通性
- 无向图：任意两顶点有路径则为连通图，非连通图的极大连通子图是连通分量。
- 有向图：任意两顶点有双向路径为强连通图，非强连通图的极大强连通子图是强连通分量；忽略边方向后无向图连通的是弱连通图。
- 图的连通性判定方法
- 无向图：用 DFS 或 BFS 从任一顶点遍历，能访问所有顶点则为连通图。
- 有向图：用 Kosaraju 算法、Tarjan 算法等计算强连通分量判定强连通性 。
今天的分享就到这里啦~~