41.寻找缺失的第一个正数：原地哈希算法详解

引言

在算法面试和数据处理中，寻找缺失的第一个正数是一个经典问题。题目要求给定一个未排序的整数数组，找到其中缺失的最小正整数，且时间复杂度需为O(n)，空间复杂度为O(1)。本文将详细解析如何通过原地哈希算法高效解决这一问题，并提供完整的Java代码实现。

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问题描述

给定一个包含n个整数的数组nums，找出其中没有出现的最小的正整数。
示例：

• 输入：nums = [1,2,0]，输出：3
• 输入：nums = [3,4,-1,1]，输出：2

限制条件：

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

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方法思路：原地哈希算法

传统方法（如排序或哈希表）无法满足空间复杂度要求。原地哈希的核心思想是将数值映射到数组索引上，通过交换操作将每个正整数放到其“正确位置”。

算法步骤

1. 处理数组元素

   • 遍历数组，若当前元素nums[i]是正整数且在[1, n]范围内，则将其交换到索引nums[i]-1的位置。
   • 使用while循环确保交换后的新元素也被正确处理。

2. 查找缺失值

   • 再次遍历数组，第一个满足nums[i] != i+1的位置即为缺失的最小正数。
   • 若所有位置均正确，则缺失值为n+1。

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完整代码实现

public class FirstMissingPositive {public int firstMissingPositive(int[] nums) {int n = nums.length;// 原地哈希：将数值x交换到索引x-1的位置for (int i = 0; i < n; i++) {while (nums[i] >= 1 && nums[i] <= n && nums[nums[i] - 1] != nums[i]) {swap(nums, i, nums[i] - 1);}}// 查找第一个不满足nums[i] == i+1的位置for (int i = 0; i < n; i++) {if (nums[i] != i + 1) {return i + 1;}}return n + 1;}// 交换数组中的两个元素private void swap(int[] nums, int i, int j) {int temp = nums[i];nums[i] = nums[j];nums[j] = temp;}
}

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关键代码解析

1. 原地哈希处理

   while (nums[i] >= 1 && nums[i] <= n && nums[nums[i] - 1] != nums[i]) {swap(nums, i, nums[i] - 1);
   }
   

   • 条件1：nums[i]必须是有效正整数（1 ≤ x ≤ n）。
   • 条件2：若目标位置的值已正确，则无需交换。
   • 循环处理：交换后，新的nums[i]可能仍需调整，因此使用while而非if。

2. 查找缺失值

   if (nums[i] != i + 1) {return i + 1;
   }
   

   • 第一个不满足nums[i] == i+1的索引i，其对应的i+1即为缺失值。

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复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)
  每个元素最多被交换一次，两次遍历时间复杂度均为O(n)。
• 空间复杂度：O(1)
  仅使用常数级别的额外空间。

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示例说明

以输入nums = [3,4,-1,1]为例：

1. 原地哈希处理：
   • 遍历到3，将其交换到索引2的位置，数组变为[-1,4,3,1]。
   • 遍历到4，将其交换到索引3的位置，数组变为[-1,1,3,4]。
   • 遍历到1，将其交换到索引0的位置，数组变为[1,-1,3,4]。
2. 查找缺失值：
   • 索引1的值为-1，不满足nums[1] == 2，返回2。

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总结

原地哈希算法通过索引映射和元素交换，将时间复杂度优化至O(n)，空间复杂度优化至O(1)。该方法不仅高效，还能帮助深入理解数组索引与数值之间的关系。掌握这一算法，可轻松应对类似的高频面试题。