杜教筛原理，实现与时间复杂度分析

引例

洛谷 P4213 【模板】杜教筛

题目描述

给定一个正整数，求

$$an{s}_1=\sum _{i=1}^n\phi (i)$$

$$an{s}_2=\sum _{i=1}^n\mu (i)$$

输入格式

本题单测试点内有多组数据。

输入的第一行为一个整数，表示数据组数 $T$。

接下来 $T$ 行，每行一个整数 $n$，表示一组询问。

输出格式

对于每组询问，输出一行两个整数，分别代表 $an{s}_1$ 和 $an{s}_2$。

输入输出样例 #1

输入 #1

6
1
2
8
13
30
2333

输出 #1

1 1
2 0
22 -2
58 -3
278 -3
1655470 2

说明/提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le T\le 10$，$1\le n<2^{31}$。对于全部的测试点，保证 $1\le T\le 10$，$1\le n<2^{31}$。

题中要求以低于线性的时间复杂度对数论函数求和。

原理

将例写为更一般的形式：

求 $$S(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$ ，其中，$f$ 是数论函数。

构造函数 $g$ 并令 $h=f\ast g=g\ast f$ ，
故，
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{n}h(i)& =\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}g(d)f\left(\frac{i}{d}\right)\\ & =\sum _{d=1}^n\sum _{d|i}^{n}g(d)f\left(\frac{i}{d}\right)\\ & =\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{d|i}^{n}f\left(\frac{i}{d}\right)\\ & =\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(i)\\ & =\sum _{d=1}^{n}g(d)S\left(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \right)\\ & =g(1)S(n)+\sum _{i=2}^{n}g(i)S\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)\end{array}$$
因此，
$$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^{n}h(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor n/i\rfloor )$$

采用数论分快加速第二个求和运算，这要求：

• 可以快速计算 ${\sum }_{i=1}^{n}h(i)$ ；
• 可以快速计算 ${\sum }_{i=l}^{r}g(i)$ ；

实现

实现时构造出来的 $h,g$ 已经满足了上述要求，采用记忆化搜索计算 $S(n)$ ，数论分块加速求和。
考虑进一步优化，对于前 $k$ 项使用线性筛直接计算。
以下为C++参考实现。

时间复杂度分析

此处伪证极多，点名《算法竞赛》中的“高阶小量”伪证。

先考虑有哪些 $S(i)$ 会被计算。
设记搜时 $S(i)$ 会使用 R ( i ) = { j ∣ j = ⌊ i k ⌋ , k ∈ N + , k > 1 } R(i)=\{j|j=\lfloor \frac ik \rfloor,k∈\mathbb{N^+},k>1\} R(i)={j∣j=⌊ki​⌋,k∈N+,k>1} 中的元素的 $S$ 。

下证若 $m\in R(n)$ ，则 $R(m)\subseteq R(n)$ 。
对于任意 $i\in R(m)$ , $i=\lfloor \frac{m}{x}\rfloor$ ，
又 $m=\lfloor \frac{n}{y}\rfloor$ ，
故 $i=\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{y}\rfloor }{x}\rfloor =\lfloor \frac{n}{xy}\rfloor \in R(n)$ 。

由上知只有 $i\in R(n)$ 才会被计算。

下令 $T(n)$ 为计算 $S(n)$ 的时间复杂度，并忽略计算 $h,g$ 相关的消耗。则由数论分块相关可知 $T(n)=\sqrt{n}$ 。

类似数论分块，若 $i=\lfloor \frac{n}{x}\rfloor \in R(n)$，
则 $i\le \sqrt{n}$ 或 $ i=\lfloor \frac nj \rfloor,j<\sqrt n$ 。

对于朴素的杜教筛（不使用线性筛优化），其时间复杂度为，
$$\begin{array}{rl}\sum _{i\in R(n)}T(i)& =\sum _{i\in R(n)}\sqrt{i}\\ & =\sum _{i=1}^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }\sqrt{i}+\sum _{j=2}^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }\sqrt{\frac{n}{j}}\\ & ＜\sum _{i=1}^{\lfloor \sqrt{n}\rfloor }\sqrt{i}+\sqrt{\frac{n}{i}}\\ & \approx {\int }_0^{\sqrt{n}}(\sqrt{x}+\sqrt{\frac{n}{x}})dx\\ & =n^{3/4}\end{array}$$
即为 $O(n^{3/4})$ 。

若使用线性筛预处理前 $k$ 项，预处理部分时间复杂度为 $O(k)$ 。当 $k>\sqrt{n}$ 时时间复杂度变为，
$$\begin{array}{rl}k+\sum _{i\in R(n),i>k}T(i)& =k+\sum _{i\in R(n),i>k}\sqrt{i}\\ & =k+\sum _{j=2}^{\lfloor n/k\rfloor }\sqrt{\frac{n}{j}}\\ & <k+\sum _{i=1}^{\lfloor n/k\rfloor }\sqrt{\frac{n}{i}}\\ & \approx k+{\int }_0^{n/k}\sqrt{\frac{n}{x}}dx\\ & =k+\frac{n}{\sqrt{k}}\end{array}$$
为求上式极值，以 $k$ 为自变量求导，令 $\frac{dO}{dk}=1-\frac{1}{2}n{k}^{-\frac{3}{2}}=0$ ,
得到 $k=O(n^{2/3})$ ，此时总时间复杂度为 $O(n^{2/3})$ 。