【数据结构与算法】哈希表实现：闭散列 开散列

Ⅰ. 哈希结构

一、哈希的概念

​ 顺序结构以及平衡树中，元素关键码与其存储位置之间没有对应的关系，因此在 查找一个元素时，必须要经过关键码的多次比较。顺序查找时间复杂度为 O(N)，平衡树中为树的高度，即 O( $lo{g}_{2}n$)，搜索的效率取决于搜索过程中元素的比较次数。

​ 理想的搜索方法：可以不经过任何比较，一次直接从表中得到要搜索的元素。 如果构造一种存储结构，通过某种函数使元素的存储位置与它的关键码之间能够建立一一映射的关系，那么在查找时通过该函数可以很快找到该元素**。

当向该结构中：

• 插入元素：根据待插入元素的关键码，以此函数计算出该元素的存储位置并按此位置进行存放

• 搜索元素：对元素的关键码进行同样的计算，把求得的函数值当做元素的存储位置，在结构中按此位置取元素比较，若关键码相等，则搜索成功

​ 该方式即为哈希(散列)方法，哈希方法中使用的转换函数称为哈希(散列)函数，构造出来的结构称为哈希表（或者称散列表）

​ 例如：数据集合 {1，7，6，4，5，9}

​ 哈希函数设置为：hash(key) = key % capacity （capacity 为存储元素底层空间总的大小）

​ 用该方法进行搜索不必进行多次关键码的比较，因此搜索的速度比较快 问题：按照上述哈希方式，向集合中插入元素44，会出现什么问题？答案是发生哈希冲突（或哈希碰撞）！

二、哈希冲突

​ 不同关键字通过相同哈希哈数计算出相同的哈希地址，该种现象称为 哈希冲突 或 哈希碰撞。把具有不同关键码而具有相同哈希地址的数据元素称为 “ 同义词 ”。

❓ 发生哈希冲突该如何处理呢？哈希冲突可以被解决吗？

💡 答案是 哈希冲突是无法被完全解决的，就像生活中无法完全解决一些矛盾一样，但是如果我们的处理方法越好，那么产生的矛盾也就是哈希冲突就会越少！

​ 下面在介绍解决哈希冲突的方法之前，先介绍一下哈希函数！

三、哈希函数

引起哈希冲突的一个原因可能是：哈希函数设计不够合理。 哈希函数设计原则：

• 哈希函数的定义域必须包括需要存储的全部关键码，而如果散列表允许有 m 个地址时，其值域必须在 0 到 m-1 之间
• 哈希函数计算出来的地址能均匀分布在整个空间中
• 哈希函数应该比较简单

​ 哈希函数作用：建立元素与其存储位置之前的对应关系的，在存储元素时，先通过哈希函数计算 元素在哈希表格中的存储位置，然后存储元素。好的哈希函数可以减少冲突的概率，但是不能够绝对避免，万一发生哈希冲突，得需要借助哈希冲突处理方法来 解决。

📧 常见哈希函数

1. 直接定制法（常用）

   • 取关键字的某个线性函数为散列地址：Hash （ Key ） = A\*Key + B
   • 优点：简单、均匀
   • 缺点：需要事先知道关键字的分布情况
   • 使用场景：适合查找比较小且连续的情况 （基数排序的思想就是直接定制法）

2. 除留余数法（常用）

   • 设散列表中允许的地址数为 m ，取一个不大于 m ，但最接近或者等于 m 的质数 p 作为除数，按照哈希函数： Hash(key) = key% p(p<=m)，将关键码转换成哈希地址。

3. 平方取中法

   • 假设关键字为 1234，对它平方就是 1522756，抽取中间的 3 位 227 作为哈希地址； 再比如关键字为 4321，对它平方就是 18671041，抽取中间的 3 位 671（或710）作为哈希地址
   • 平方取中法适合：不知道关键字的分布，而位数又不是很大

4. 折叠法

   • 折叠法是将关键字从左到右分割成位数相等的几部分(最后一部分位数可以短些)，然后将这几部分叠加求和，并按散列表表长，取后几位作为散列地址。
   • 折叠法适合事先不需要知道关键字的分布，适合关键字位数比较多的情况

5. 随机数法

   • 选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的哈希地址，即 H(key) = random(key)，其中 random 为随机数函数。通常应用于关键字长度不等时采用此法

6. 数学分析法

   • 设有 n 个 d 位数，每一位可能有r种不同的符号，这r种不同的符号在各位上出现的频率不一定相同，可能在某些位上分布比较均匀，每种符号出现的机会均等，在某些位上分布不均匀只有某几种符号经常出现。可根据散列表的大小，选择其中各种符号分布均匀的若干位作为散列地址。
   • 假设要存储某家公司员工登记表，如果用手机号作为关键字，那么极有可能前7位都是 相同的，那么我们可以选择后面的四位作为散列地址，如果这样的抽取工作还容易出现 冲突，还可以对抽取出来的数字进行反转（如 1234 改成 4321）、右环位移（如 1234 改成 4123）、左环移位、前两数与后两数叠加（如 1234 改成 12+34=46 ）等方法。数字分析法通常适合处理关键字位数比较大的情况，如果事先知道关键字的分布且关键字的若干位分布较均匀的情况

💡 注意：哈希函数设计的越精妙，产生哈希冲突的可能性就越低，但是无法避免哈希冲突

Ⅱ. 哈希冲突的解决

​ 解决哈希冲突两种常见的方法是：闭散列和开散列

​ 我们先把闭散列哈希表的框架搭起来！

// 哈希表每个空间给个标记
// EMPTY此位置空， EXIST此位置已经有元素， DELETE元素已经删除
enum Status
{EXIST,EMPTY,DELETE
};template<class K, class V>
struct HashData
{pair<K, V> _kv;Status _status = EMPTY; // 这里注意要给默认缺省值初始化，因为这里没有写构造函数，所以不会对枚举类型初始化
};template<class K, class V>
class hashtable
{
public:bool insert(const pair<K, V>& kv);void _CheckCapacity();HashData<K, V>* find(const K& key);bool erase(const K& key);private:vector<HashData<K, V>> _tables;size_t _n; // 有效数据个数
};

🏗 注：下面在实现闭散列的时候，我们先不会引入哈希函数，等到实现完闭散列后在指出问题的时候再用哈希函数进行问题处理！

一、闭散列

​ 闭散列：也叫 开放定址法，当发生哈希冲突时，如果哈希表未被装满，说明在哈希表中必然还有空位置，那么可以把 key 存放到冲突位置中的下一个空位置中去。

​ 那如何寻找下一个空位置呢？

① 线性探测

​ 比如一下场景，现在需要插入元素 44，先通过哈希函数计算哈希地址，hashAddr为 4，因此 44 理论上应该插在该位置，但是该位置已经放了值为 4 的元素，即发生哈希冲突。

线性探测：从发生冲突的位置开始，依次向后探测，直到寻找到下一个空位置为止。

• 插入

  1. 先查找一下是否存在重复的元素，是的话直接返回 false
  2. 然后判断一下容量和负载因子，看看需不需要扩容（下面会讲）
  3. 通过哈希函数（这里采用除留余数法）获取待插入元素在哈希表中的位置
  4. 如果该位置中没有元素则直接插入新元素，如果该位置中有元素发生哈希冲突，使用线性探测找到下一个空位置，插入新元素
     

  bool insert(const pair<K, V>& kv)
  {// 进来先判断是否存在重复的元素HashData<K, V>* ret = find(kv.first);if (ret != nullptr)return false;// 每次判断是否需要扩容（这个下面会讲）_CheckCapacity();// 采用除留余数法size_t start = kv.first % _tables.size(); size_t i = 0;size_t index = start; // 这里多定义一个index是为了等会的二次探测的代码兼容性// 线性探测while (_tables[index]._status == EXIST){i++;index = start + i;index %= _tables.size(); // 记得取模哈希表的长度，防止越界出去}// 插入新元素_tables[index]._kv = kv;_tables[index]._status = EXIST;_n++;return true;
  }
  

• 删除

  • 采用闭散列处理哈希冲突时，不能随便物理删除哈希表中已有的元素，若直接删除元素会影响其他元素的搜索。比如删除元素 4，如果直接删除掉，44 查找起来可能会受影响。因此线性探测采用标记的伪删除法来删除一个元素。简单点说，就是改变要删除元素的 _status 为 DELETE 即可！

    bool erase(const K& key)
    {HashData<K, V>* ret = find(key);if (ret == nullptr){return false;}else{--_n;ret->_status = DELETE; // 直接改状态即可return true;}
    }
    

• 查找

  • 查找其实就是按插入时候使用的探测方式进行查找。
  • 要注意的是查找的条件不只是 _tables[index]._kv.first == key，还得加个 _tables[index]._status == EXIST，因为有可能该点元素的是不算入有效数据的，且数据的状态是 DELETE，所以不加这个条件的话，就会将 DELETE 的节点也算入，所以我们得加入该条件，防止删除作用失效！

HashData<K, V>* find(const K& key)
{if (_tables.size() == 0)return nullptr;// 按insert的监测方式查找size_t start = key % _tables.size();size_t i = 0;size_t index = start + i;while (_tables[index]._status != EMPTY){// 这里必须加_status == EXIST，因为不加的话在删除后还是能查到该值if (_tables[index]._kv.first == key && _tables[index]._status == EXIST)return &_tables[index];i++;//index = start + i * i;  // 这是二次探测index = start + i;index %= _tables.size();}// 没找到则返回空return nullptr;
}

​ 线性探测优点：实现简单

​ 线性探测缺点：一旦发生哈希冲突，所有的冲突连在一起，容易产生数据 “ 堆积 ”，即：不同关键码占据了可利用的空位置，使得寻找某关键码的位置需要许多次比较，导致搜索效率降低。如何缓解呢？就是通过二次探测！不过我们先介绍一下扩容的机制：

思考：哈希表什么时候扩容？如何扩容？

​ 总结：在闭散列的线性探测中，0.7 是负载因子区分冲突和元素个数的最优分水岭！

​ 而我们后面讲的 闭散列的二次探测的话，0.5 的负载因子是最好的分水岭！

🌵 注意事项：为什么在实现的时候扩容函数的时候不直接调用 vector 的扩容函数呢❓❓❓

​ 因为 vector 的扩容函数如 resize()，不管是在原地扩容还是异地扩容，它最后都只是将数据拷贝过去，如下图：

​ 但是其实我们需要的效果不是这样子的，我们需要的是这样子的：

​ 所以我们这里可以 定义一个新的哈希表 newTables，然后遍历原表，将原表中的数据按 newSize 映射到新表中去（调用哈希表自己的insert）

void _CheckCapacity()
{// 当表的大小为0 或者 负载因子超过0.7 则扩容