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《数学物理方程》——第一章 引入与基本概念

news 来源：原创 2025/4/30 7:45:38

1.1 基本概念和定义

偏微分方程的分类

  1. 线性

    1. 齐次

    2. 非齐次

  2. 非线性

    1. 拟线性 —— 半线性

    2. 完全非线性

1.2 典型方程

1.2.1 波动方程

$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=a^{2} \Delta u$

一维弦自由振动方程：$\frac{\partial ^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ （不考虑弦的重量），即：$u_{tt}=a^{2}u_{xx}$

一维弦强迫振动方程：$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)$（这里的 $f(x,t)$ 可以是弦的重量或分布力）

二维波动方程（如 薄膜振动）：$u_{tt}=a^{2}(u_{xx}+u_{yy})+f(x,y,t)$

三维波动方程（如 电磁波、声波等的传播）：$u_{tt}=a^{2}(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})+f(x,y,z,t)$

  • 弦、杆、膜等的振动

  • 乐器发音

  • 水波

  • 电磁波

1.2.2 热传导方程（扩散方程）

$\frac{\partial u}{\partial t} = a^{2} \Delta u$

这是比较规整的写法，也可以写成下面这种比较详细的写法：

$\frac{\partial u}{\partial t}=a^{2}(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}})+f(x,y,z,t)$

其中 $a^{2}=\frac{k}{c\rho}, f(x,y,z,t)=\frac{F}{c\rho}$ ，c 是比热，ρ 是密度。若物体内部无热源，则没有后面 $f(x,y,z,t)$ 项

一维热传导方程为：$\frac{\partial u}{\partial t}=a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$

二维热传导方程为：$\frac{\partial u}{\partial t}=a^{2}(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}})$

  • 热传导中的温度分布

  • 气体、流体的扩散、粘性液体的流动、液体的渗透

  • 半导体材料中的杂质扩散

1.2.3 位势方程（Laplace方程 和 Poisson方程）

当上面的波动方程和热传导方程（扩散方程）所描述的物理现象中用于表达该物理过程的物理量 u 不随时间变化而变化，即 $\frac{\partial u}{\partial t}=0$ ，则可以得到三维拉普拉斯（Laplace）方程，或者说 调和方程。

$\Delta u = 0$

当考虑一个 有源的 稳定热场，可以得到：$\Delta u=-f(x,y,z)$，即：

$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}=-f(x,y,z)$

其中， $f(x,y,z)=F(x,y,z)/k$

  • 空间的静电场分布

  • 静磁场分布

  • 稳定温度场分布

  • 稳定状态下的浓度分布

1.2.4 流体力学基本方程组

流体力学基本方程组包括四个方程

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \bold u) = 0$

（连续性方程）

$\frac{\partial \bold u}{\partial t}+(\bold u \cdot \nabla)\bold u=-\frac{1}{\rho} \nabla p + \frac{1}{\rho}\bold f$

（运动方程）

$\frac{\partial e}{\partial t}+\bold u \cdot \nabla e=-\frac{\rho}{p} \nabla \cdot \bold u + \frac{1}{\rho} \bold f \cdot \bold u$

（能量方程）

$e = (p,\rho)$

（状态方程）

1.2.5 导出方程的一般方法（数学建模的过程）

  1. 确定所研究的物理量；

  2. 建立适当的坐标系/微元法分析；

  3. 根据物理定律写出与临近单元的相互作用，分析这种相互作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学公式；

  4. 简化整理，得到方程。

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