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多项式近似

是一种数学技术，它通过拟合一个多项式函数来近似描述一个给定的数据集或信号。在这种情况下，多项式近似用于将连续的输入信号转换为一组系数，这些系数可以有效地表示原始信号的关键特征。通过这种方式，模型可以在保持对输入信号重要信息的同时，减少存储和计算的负担。

具体到文章中提到的HiPPO（Hungry Hungry Hippo）模型，它使用正交多项式来投影历史数据，并将其转换为具有特殊初始化矩阵A和B的结构化状态空间模型（SSM）。这样，HiPPO能够在有限的内存预算内学习输入信号的特征，同时保持对长序列的有效建模能力。通过这种方法，HiPPO能够在每个时间步更新多项式的系数，从而动态地捕捉输入信号的变化，同时避免了维数爆炸的问题。

正交多项式

是一组特殊的多项式，它们的系数选择使得任意两个不同阶的多项式之间的内积为零。这种性质使得正交多项式在处理数据时具有很好的数学特性，特别是在信号处理和数据拟合中。正交多项式的一些常见例子包括勒让德多项式（Legendre polynomials）、切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）和傅里叶级数（Fourier series）。

在HiPPO模型中，通过将序列数据投影到正交多项式的基上，可以将数据压缩成一个系数向量，这个向量的每个元素对应于一个特定阶数的多项式系数。这样，原始的序列数据就被转换成了一个低维的表示形式，这个表示形式捕获了序列的关键特征，同时减少了存储和计算的需求。