费马引理和罗尔定理
cheer 向……欢呼，使高兴，欢呼，欢呼，愉快
- 前言
- 区间平均值
- 费马引理
- 罗尔
- 三步万能构造原函数的方法
- 什么时候用罗尔定理
- 计划
- 拉格朗日
- 需要记忆的不等式
- 柯西中值定理
- 泰勒
- 高阶导数判断极值
- 最后
前言
继续学习。今天争取把讲义和作业题都写完。另外考研政治笔记审核通不过，还是多写一点英语，数学，专业课笔记，有一些内容可以记录到语雀上面，唯一的坏处就是写在语雀上面和写日记一样，给不了我正反馈。。
区间平均值
就是由积分中值定理推导出来的，之前写题碰到过，但是当时不知道这个东西。
费马引理
费马，罗尔，拉格朗日，柯西，泰勒。
极值点，并且可导，那么该点处导数为零。微分中值定理实际上非常重要。
罗尔
闭区间连续，开区间可导，端点相等，存在一点的导数为零。算了，先去吃饭。
三步万能构造原函数的方法
目标高远。志存高远。
这个部分的内容非常重要。首先把微分方程列出来，然后解微分方程，把 C 放在方程的一边，另一边就是我们需要构造的函数。举个例子
f
(
ξ
)
+
ξ
f
(
ξ
)
=
0
f
(
x
)
+
x
⋅
f
′
(
x
)
=
0
f
′
(
x
)
=
−
f
(
x
)
x
令
f
(
x
)
x
=
u
d
f
(
x
)
d
x
=
d
u
d
x
+
u
=
−
u
d
u
d
x
=
−
2
u
x
f
(
x
)
=
C
F
(
x
)
=
x
f
(
x
)
f(\xi)+\xi f(\xi)=0\\[1cm] f(x)+x \cdot f'(x)=0\\[0.5cm] f'(x)=-\frac{f(x)}{x}\\[0.5cm] \text{令 }\frac{f(x)}{x}=u\\[0.5cm] \frac{df(x)}{dx}=\frac{du}{dx}+u=-u\\[0.5cm] \frac{du}{dx}=-2u\\[0.5cm] xf(x)=C\\[0.5cm] F(x)=xf(x)
f(ξ)+ξf(ξ)=0f(x)+x⋅f′(x)=0f′(x)=−xf(x)令 xf(x)=udxdf(x)=dxdu+u=−udxdu=−2uxf(x)=CF(x)=xf(x)
意思大概就是这样，实际上就是解微分方程，这就是为什么要先学微分方程，再学中值定理的原因。
什么时候用罗尔定理
证明至少存在一个中值点， ξ \xi ξ,使得等式成立。
- F ( ξ ) = 0 F(\xi)=0 F(ξ)=0 零点定理
- F ′ ( ξ ) = 0 F'(\xi)=0 F′(ξ)=0 罗尔定理
坦率地讲，感觉好简单，感觉考研数学稳了。哈哈哈爽。
积分中值定理的结论是闭区间，因为积分和单个点无关，所以可以推广到开区间。实际上，严格闭区间的只有介值定理。因为假设，极值点取在端点的时候，一定要取闭区间。
计划
学完讲义和作业题，然后把 660 和 1000 上面的题全部写完，然后再多练习一些题。
拉格朗日
我现在意识到，很多东西我们都会忘记，把一些重要的东西记住就好了。没必要对单次努力抱多大的期望，放轻松一些是一个比较正确的选择。
需要记忆的不等式
x > 0 , 1 1 + x < l n ( 1 + 1 x ) < 1 x x > 0 , x x + 1 < l n ( 1 + x ) < x x>0,\frac{1}{1+x}<ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}\\[0.5cm] x>0,\frac{x}{x+1}<ln(1+x)<x x>0,1+x1<ln(1+x1)<x1x>0,x+1x<ln(1+x)<x
柯西中值定理
不放过任何知识点，因为我们的目标是星辰大海。稍微有点难是不能放弃的，当然很难也不能放弃。除非死去，永不放弃。想起来大一的高数老师喜欢用英文来写这种定理，什么 roll 定理，给当时本来就不是很懂的我们额外上了一些难度。
证明柯西中值定理，用罗尔定理来证明，用罗尔定理之前要构造一个原函数。构造原函数就是三步走。非常简单。数学真的想考满分啊。
泰勒
突然意识到，控制是一件非常重要的事情。把控制做好之后，我们很多问题才能很好地解决。
高阶导数判断极值
假设一个函数在某点处可以 n 阶求导，那么，假设前面 n - 1 阶导数都是零，n 阶导数是偶数，这个导数是正数，该点处是极小值，这个导数是负数，该点处是极大值。假设是奇数，这个点不是极值。
最后
我没太理解为什么泰勒公式要放到中值定理这块。。。之后准备把讲义和练习题看一下，然后开始复习多元微分。还是得多努力学习。