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LeetCode hot 100—不同路径

news 2025/9/10 15:08:23

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

分析

动态规划

算法思路

设 dp[i][j] 表示机器人到达第 i 行第 j 列网格的不同路径数量。

边界条件：

当机器人位于第一行时，由于它只能从左边的网格向右移动到达，所以对于第一行的任意列 j，都有 dp[0][j] = 1。
当机器人位于第一列时，由于它只能从上方的网格向下移动到达，所以对于第一列的任意行 i，都有 dp[i][0] = 1。

状态转移方程：

对于其他位置 (i, j)（i > 0 且 j > 0），机器人可以从上方的网格 (i - 1, j) 向下移动一步到达，也可以从左边的网格 (i, j - 1) 向右移动一步到达。因此，到达 (i, j) 的不同路径数量等于到达 (i - 1, j) 的路径数量加上到达 (i, j - 1) 的路径数量，即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。

最终结果：

要求的是机器人到达右下角网格 (m - 1, n - 1) 的不同路径数量，即 dp[m - 1][n - 1]。

时间复杂度：O( $m\times n$ )

空间复杂度：O( $m\times n$ )

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        // 创建一个二维数组 dp 来存储到达每个网格的不同路径数量
        std::vector<std::vector<int>> dp(m, std::vector<int>(n, 0));
        // 初始化第一行，因为从起点到第一行的任意位置都只有一种路径（一直向右走）
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            dp[0][j] = 1;
        }
        // 初始化第一列，因为从起点到第一列的任意位置都只有一种路径（一直向下走）
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        // 填充 dp 数组，根据状态转移方程计算到达每个位置的不同路径数量
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        // 返回到达右下角网格的不同路径数量
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};