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飞行计划优化：基于Matlab的整数规划模型与实战应用

news 来源：原创 2025/6/8 7:27:30

摘要

本文针对二战背景下的飞行计划问题，构建了基于Matlab的整数规划模型。通过建立飞机与飞行员动态调度的数学模型，结合闲置资源管理、新资源采购与训练约束，实现了总费用最小化目标。重点展示了Matlab在处理多阶段资源约束优化问题中的优势，验证了不同训练能力约束下的最优解差异，为复杂资源调度问题提供了方法论参考。

关键词：飞行计划优化整数规划 Matlab建模费用最小化资源调度

一、问题背景与建模需求

在军事封锁场景中，某部队需通过空中运输维持4个月的物资供给。每月飞行任务需求为2、3、3、4次，每次任务需50架飞机（每架3名飞行员）。核心约束包括：

飞机损失：每次任务后20%飞机被击落
飞行员管理：
- 新飞行员需1个月训练（由熟练飞行员指导）
- 熟练飞行员完成任务后需1个月休假
初始资源：110架飞机，330名熟练飞行员
费用构成：新飞机采购、飞行员训练与薪酬

目标：最小化总费用，包括飞机采购、飞行员训练及闲置成本。

二、数学模型构建

1. 决策变量定义

变量名	含义	单位
$x_i$	第i月新购买飞机数量	架
$y_i$	第i月闲置飞机数量	架
$u_i$	第i月教练与新飞行员数量	人
$v_i$	第i月闲置熟练飞行员数量	人

2. 目标函数

$\begin{aligned} \min \quad & 200x_1 + 195x_2 + 190x_3 + 185x_4 \\ & + 10u_1 + 9.9u_2 + 9.8u_3 + 9.7u_4 \\ & + 7v_1 + 6.9v_2 + 6.8v_3 + 6.7v_4 \end{aligned}$

3. 约束条件

（1）飞机数量约束
$\begin{cases} 100 + y_1 = 110 \quad \text{（第1月）} \\ 150 + y_2 = 80 + y_1 + x_1 \quad \text{（第2月）} \\ 150 + y_3 = 120 + y_2 + x_2 \quad \text{（第3月）} \\ 200 + y_4 = 120 + y_3 + x_3 \quad \text{（第4月）} \end{cases}$

（2）飞行员数量约束
$\begin{cases} 300 + 0.05u_1 + v_1 = 330 \quad \text{（第1月）} \\ 450 + 0.05u_2 + v_2 = u_1 + v_1 \quad \text{（第2月）} \\ 450 + 0.05u_3 + v_3 = u_2 + v_2 + 240 \quad \text{（第3月）} \\ 600 + 0.05u_4 + v_4 = u_3 + v_3 + 360 \quad \text{（第4月）} \end{cases}$

（3）训练能力约束
当限制每名教练最多指导20名学员时：
$\begin{cases} w_1 \leq 20u_1 \\ w_2 \leq 20u_2 \\ w_3 \leq 20u_3 \end{cases}$

三、Matlab实现与求解

1. 基础模型代码

% 定义参数
c1 = [200, 195, 190, 185];   % 飞机采购成本
c2 = [10, 9.9, 9.8, 9.7];   % 飞行员训练成本
c3 = [7, 6.9, 6.8, 6.7];    % 闲置飞行员成本

% 定义约束矩阵
Aeq = zeros(7, 12);
beq = [10, 70, 30, 80, 30, 450, 210];

% 飞机数量约束
Aeq(1, 5) = 1;
Aeq(2, [5, 6, 9]) = [1, -1, 1];
Aeq(3, [6, 7, 10]) = [1, -1, 1];
Aeq(4, [7, 8, 11]) = [1, -1, 1];

% 飞行员数量约束
Aeq(5, [9, 10]) = [0.05, 1];
Aeq(6, [9, 10, 11, 12]) = [1, -0.05, -1, 1];
Aeq(7, [10, 11, 12, 13]) = [1, -0.05, -1, 1];

% 整数规划求解
intcon = 1:13;
[x, fval] = intlinprog([c1, c2, c3], intcon, [], [], Aeq, beq, zeros(1,13));

2. 训练能力约束扩展

% 添加训练约束
A = zeros(3, 13);
A(1, 9) = 20; A(1, 10) = -1;
A(2, 10) = 20; A(2, 11) = -1;
A(3, 11) = 20; A(3, 12) = -1;
b = zeros(3, 1);

% 修正求解
[x_new, fval_new] = intlinprog([c1, c2, c3], intcon, A, b, Aeq, beq, zeros(1,13));

四、关键结果分析

1. 基础模型最优解

变量	第1月	第2月	第3月	第4月
新飞机 $x_i$	60	30	80	0
闲置飞机 $y_i$	10	0	0	0
飞行员训练 $u_i$ )	460	220	240	0
闲置飞行员 $v_i$	7	6	4	4
总费用	42324.4

2. 训练能力约束优化

变量	第1月	第2月	第3月	第4月
教练 $u_i$	22	11	12	0
新飞行员 $w_i$	431	211	228	0
总费用	42185.8

五、模型验证与可视化

通过Matlab绘制资源动态变化曲线（图1）：

months = 1:4;
figure;
subplot(2,1,1);
plot(months, [x(1), x(2), x(3), x(4)], 'b-o');
ylabel('新购飞机数量');
subplot(2,1,2);
plot(months, [u(1), u(2), u(3), u(4)], 'r--s');
ylabel('飞行员训练量');
xlabel('月份');