经济金融最优化：从理论到MATLAB实践——最大利润问题全解析

内容摘要

本文聚焦经济金融领域的最大利润问题，深入探讨不考虑销售影响和考虑销售影响两种情形下的利润最大化模型柯布 - 道格拉斯生产函数等理论构建与求解。

关键词：经济金融；最大利润问题；柯布-道格拉斯生产函数

1. 引言

在经济金融领域，企业的核心目标之一便是追求利润最大化。而实现这一目标，需要对生产、销售等多个环节进行深入分析与优化决策。

2. 不考虑销售影响的最大利润问题

2.1 理论基础

在不考虑销售因素时，假设厂商仅使用劳动$(L)$和资本$(K)$这两种生产要素，生产函数$Q$（产出）可表示为$Q=f(L,K)$。其中，常用的生产函数有固定投入比例生产函数和柯布 - 道格拉斯生产函数。柯布 - 道格拉斯生产函数由数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家道格拉斯（Paul H. Douglas）于20世纪30年代提出，其一般形式为$$Q(L,K)=A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }$$。

在该函数中，$A$为常数，$L$是投入的劳动力数（单位是万人或人），$K$是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，需与劳动力数的单位相对应），$\alpha$是劳动力产出的弹性系数，$\beta$是资本产出的弹性系数。根据$\alpha +\beta$的值，可对生产函数进行分类：

• 当$\alpha +\beta >1$时，为递增报酬型，表明扩大生产规模有利于增加产出；
• 当$\alpha +\beta <1$时，为递减报酬型，此时扩大生产规模得不偿失；
• 当$\alpha +\beta =1$时，为不变报酬型，意味着生产效率不会随生产规模扩大而提高，需依靠技术进步提升经济效益。

若采用柯布 - 道格拉斯生产函数，假设工资率为$w$，资本利息率为$r$，则厂商的利润函数为$$I(L,K)=A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }-rK-wL$$。厂商的最优化问题便是在给定生产要素价格下，选择合适的生产要素投入量，以实现利润最大化，即$$\max I(L,K)=A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }-rK-wL$$。

2.2 实例分析

假设柯布 - 道格拉斯生产函数的形式为$$Q=f(L,K)=3L^{0.4}{K}^{0.8}$$，厂商发给工人的工资率为$5$，资本利息率为$0.2$。则该厂商的优化模型为$$\max I(L,K)=3L^{0.4}{K}^{0.8}-0.2K-5L$$。

利用MATLAB优化工具箱中的fminunc函数求解此问题，在命令窗口输入相关指令（由于此题的优化目标函数为最大值的形式，因此先要将其转换为最小值的形式）：

function f =myfun (x)
f=-3*x(1)^0.4*x(2)^0.8+5*x(1)+0.2*x(2);
end
[x,fval,exitflag,output]=fminunc(@myfun,[2 2]) 

运行结果如下：

x =
    1.0000
    2.7060
fval = -1.1113
exitflag = 0

结果的exitflag等于$0$表示函数fminunc求得一定精度的解后退出。从求出的结果表明当$L=1$，$K=2.7060$时，厂商能获得最大利润。

3. 考虑销售影响的最大利润问题

3.1 理论基础

在实际情况中，生产出来的产品需通过销售才能实现利润，销售涉及销售收入和销售成本。假设生产量$Q$等于销售量$s$，即$$S=Q=f(L,K)=A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }$$。

销售收入$I$与销售量的关系为$I=c_{0}S+c_1{S}^2$，销售成本分为固定成本和可变成本，设固定成本为$M_0$，销售成本与销售量的关系为$$P=M_0+d_{0}S+d_1{S}^2$$。
则利润为$$r=I-P=(c_0-d_0)S+(c_1-d_1)S^2-M_0$$，进一步可表示为$$r=(c_0-d_0)A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }+(c_1-d_1)(A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }{)}^2-M_0$$。

此时，以利润最大化为目标的优化模型为$$\max r(S)=(c_0-d_0)S+(c_1-d_1)S^2-M_0=(c_0-d_0)A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }+(c_1-d_1)(A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }{)}^2-M_0$$；以利润最大化且成本尽量低为目标的优化模型为$$\max \frac{r(S)}{P(S)}=\frac{(c_0-d_0)A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }+(c_1-d_1)(A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }{)}^2-M_0}{M_0+d_{0}A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }+d_1(A{L}^{\alpha }{K}^{\beta }{)}^2}$$。

3.2 实例分析

假设销售收入与销售量的函数关系为$$I=6.2S+0.2S^2$$，销售成本与销售量的关系为$$P=5+0.2S+1.2S^2$$，生产函数为$$Q=f(L,K)=3L^{0.4}{K}^{0.8}$$。则以利润最大化为目标时，目标函数为$$\max r(L,K)=18L^{0.4}{K}^{0.8}-9(L^{0.4}{K}^{0.8}{)}^2-5$$。

同样利用MATLAB优化工具箱中的fminunc函数求解，在命令窗口输入（将目标函数转换为最小值形式）：

function f =myfun(x)
f=-18*x(1)^0.4*x(2)^0.8+9*x(1)^0.8*x(2)^1.6+5;
end
[x,fval,exitflag,output]=fminunc(@myfun,[2 2]) 

运行结果如下：

x =
    1.4478
    0.8311
fval = -4.0000
exitflag = 1

结果的exitflag等于$1$表示函数fminunc得到收敛解。从求出的结果表明当$L=1.4478$，$K=0.8311$时，厂商能获得最大利润。

4. 总结

本文详细阐述了经济金融中最大利润问题在不考虑销售影响和考虑销售影响两种情况下的理论模型与求解方法。通过引入柯布 - 道格拉斯生产函数，结合具体实例，利用MATLAB优化工具箱进行求解，为企业在生产要素投入和销售策略制定方面提供了科学的决策依据。在实际应用中，企业可根据自身实际情况，灵活运用这些模型和方法，实现利润最大化的目标。同时，MATLAB在解决这类复杂的经济金融问题中展现出了强大的计算能力和高效性，值得在相关领域广泛推广和应用。