[GESP202312 五级] 平均分配

题目描述

小杨认为，所有大于等于 $a$ 的完全平方数都是他的超级幸运数。

小杨还认为，所有超级幸运数的倍数都是他的幸运数。自然地，小杨的所有超级幸运数也都是幸运数。

对于一个非幸运数，小杨规定，可以将它一直 $+1$，直到它变成一个幸运数。我们把这个过程叫做幸运化。例如，如果$a=4$，那么 $4$ 是最小的幸运数，而 $1$ 不是，但我们可以连续对 $1$ 做 $3$ 次 $+1$ 操作，使其变为 $4$，所以我们可以说， $1$幸运化后的结果是 $4$。

现在，小杨给出 $N$ 个数，请你首先判断它们是不是幸运数；接着，对于非幸运数，请你将它们幸运化。

输入格式

第一行 $2$ 个正整数 $a,N$。

接下来 $N$ 行，每行一个正整数 $x$ ，表示需要判断（幸运化）的数。

输出格式

输出 $N$ 行，对于每个给定的 $x$ ，如果它是幸运数，请输出 lucky，否则请输出将其幸运化后的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 4 
1 
4 
5 
9

输出 #1

4 
lucky 
8 
lucky

输入输出样例 #2

输入 #2

16 11 
1 
2 
4 
8 
16 
32 
64 
128 
256 
512
1024

输出 #2

16 
16 
16 
16 
lucky 
lucky 
lucky 
lucky 
lucky 
lucky 
lucky

提交链接

平均分配

提示

样例解释 1

虽然是完全平方数，但它小于 $a$，因此它并不是超级幸运数，也不是幸运数。将其进行 $3$ 次 $+1$ 操作后，最终得到幸运数 $4$。4是幸运数，因此直接输出 lucky 。

$5$ 不是幸运数，将其进行 $3$ 次 $+1$ 操作后，最终得到幸运数 $8$。

$9$ 是幸运数，因此直接输出 lucky 。

数据规模

对于 $30\%$ 的测试点，保证 $a,x\le 100,N\le 100$。

对于 $60\%$ 的测试点，保证 $a,x\le 10^6$。

对于所有测试点，保证 $a\le 1,000,000$；保证 $N\le 2\times 10^5$；保证 $1\le x\le 1,000,001$。

解析

此题的关键，找出：

1. 找出所有超级幸运数：即大于等于 $a$ 的完全平方数；

2. 找出所有幸运数：所有超级幸运数及它们的倍数。

先考虑 $30\%$ 的数据。

此时的 $a$ 和 $x$ 的最大范围为 $100$。我们可以暴力枚举一定范围，把这个范围内的完全平方数全部找到。$a\sim 1000$ 这个范围一定是完全足够。

用 $vis[]$ 来标记幸运数
枚举完全平方数及其倍数

//判断一个数 是否为完全平方数
bool check(int x)
{
	int ave = sqrt(x);
	return ave * ave == x;
}

vector<int>ans;  //存储 1e3 范围内的幸运数字
//只考虑1e3的数据 看能过多少测试点
for(int i = a; i <= Mx; i++)
{
	if(check(i))
	{
		if(!vis[i])
		{
			ans.push_back(i);
			vis[i] = true;//考虑1e3范围内的超级幸运数的倍数
			int rate = 2;
			while(rate * i <= Mx)  //考虑超级幸运数的倍数 
			{
				if(!vis[rate * i])
				{
					ans.push_back(rate * i);
					vis[rate * i] = true;
				}
				rate++;
			}
		}
	}
}

对于输入的 $n$ 个数 $x$。若被标记则输出lucky，否则我们可以根据二分找到第一个大于 $x$ 的位置输出。

sort(ans.begin() , ans.end());  //从小到大排序
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
	if(vis[x[i]])
		cout << "lucky" << endl;
	else
	{
		int pos = upper_bound(ans.begin() , ans.end() , x[i]) - ans.begin();
		cout << ans[pos] << endl;

	}

}

对于 $100\%$ 的数据。
$a\le 1,000,000$、 $1\le x\le 1,000,001$。

最极端的情况，$x$ 为 $1000001$，$a$ 为 $1000000$，若没有倍数的情况，大于 $a$ 的最小的完全平方数为 $1002001$。

我们可以借助 $30\%$ 数据的思路，对代码进行优化，分析时间复杂度。

平方数从 $sqrt(a)$ 开始，最大的范围到 $1002001(1001\ast 1001=1002001)$

for (int i = ceil(sqrt(a)); i <= 1001; i++)

对于每一个完全平方数我们依然选出其倍数进行存储。

// 能得出当x=1000001 最差的幸运数为1002001，1002001为完全平方数
for (int i = ceil(sqrt(a)); i <= 1001; i++)
{
	int x = i * i; // x为完全平方数
	for (int j = 1; j * x <= 1002001; j++)
	{
		if (!vis[x * j])   //超级幸运数的倍数
		{
			ans.push_back(x * j);
			vis[x * j] = true;
		}
	}
}

此题的难点在于分析时间复杂度，考虑上述预处理代码的时间复杂度：

遍历从 $a$ 到 $up=1002001$：

• 如果 $i$ 是完全平方数，就遍历它的所有倍数 $j=i,2i,3i,...,up$，时间为 $O(up/i)$；

一共操作的次数： $$\sum _{i^2\ge a}^{\sqrt{up}}\frac{up}{i^2}$$

化简后，求和为一个收敛常数，时间复杂度大约为 $1e6$ 级别。

预处理后，对于每一个数 判断标记 + 二分 进行输出。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool vis[1100000];

int main()
{
    int a, n;
    cin >> a >> n;

    vector<int> ans; // 存储幸运数字

    // 能得出当x=1000001 最差的幸运数为1002001，1002001为完全平方数
    for (int i = ceil(sqrt(a)); i <= 1001; i++)
    {
        int x = i * i; // x为完全平方数
        for (int j = 1; j * x <= 1002001; j++)
        {
            if (!vis[x * j])   //超级幸运数的倍数
            {
                ans.push_back(x * j);
                vis[x * j] = true;
            }
        }
    }
    sort(ans.begin() , ans.end());
    while (n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        if (vis[x])
            cout << "lucky" << endl;
        else
        {
            int pos = upper_bound(ans.begin(), ans.end(), x) - ans.begin();
            cout << ans[pos] << endl;
        }
    }
    return 0;
}