【前缀和】 K 整除的⼦数组（medium）

（本题是某⼀年的蓝桥杯竞赛原题）
题⽬链接：974. 和可被 K 整除的⼦数组

题⽬描述：

给定⼀个整数数组 nums 和⼀个整数 k ，返回其中元素之和可被 k 整除的（连续、⾮空） ⼦数组 的数⽬。
⼦数组 是数组的 连续 部分。
⽰例 1：
输⼊：
nums = [4,5,0,-2,-3,1], k = 5
输出：
7
解释：
有 7 个⼦数组满⾜其元素之和可被 k = 5 整除：
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]
⽰例 2:
输⼊:
nums = [5], k = 9
输出:
0
提⽰:
1 <= nums.length <= 3 * 104
-104 <= nums[i] <= 104
2 <= k <= 104

解法（前缀和在哈希表中）：

（暴⼒解法就是枚举出所有的⼦数组的和，这⾥不再赘述。）
本题需要的前置知识：

• 同余定理
  如果 (a - b) % n = = 0 ，那么我们可以得到⼀个结论： a % n = = b % n 。⽤⽂字叙述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果相同。
  例如： (26 - 2) % 12 = = 0 ，那么 26 % 12 = = 2 % 12 = = 2 。
• c++ java中负数取模的结果，以及如何修正「负数取模」的结果
  1.c++ java中关于负数的取模运算，结果是「把负数当成正数，取模之后的结果加上⼀个负号」。
  例如： -1 % 3 = -(1 % 3) = -1
  2.因为有负数，为了防⽌发⽣「出现负数」的结果，以 (a % n + n) % n 的形式输出保证为正。
  例如： -1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2
  

算法思路：

思路与 560. 和为 K 的⼦数组 这道题的思路相似。
⽤ sum[i] 表⽰ [0, i] 区间内所有元素的和。

• 想知道有多少个「以 i 为结尾的可被 k 整除的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3… 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。
• 设 [0, x - 1] 区间内所有元素之和等于 a ， [0, i] 区间内所有元素的和等于 b ，可得(b - a) % k == 0 。
• 由同余定理可得， [0, x - 1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成：
  找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和的余数等于 sum[i] % k 的即可。

我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在 i 位置之前有多少个前缀和的余数等于 sum[i] % k 。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和的余数，⼀边存下之前每⼀种前缀和的余数出现的次数。

代码

C++ 算法代码：

class Solution
{
public:
 int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) 
 {
 unordered_map<int, int> hash;
 hash[0 % k] = 1; // 0 这个数的余数
 int sum = 0, ret = 0;
 for(auto x : nums)
 {
 sum += x; // 算出当前位置的前缀和
 int r = (sum % k + k) % k; // 修正后的余数
 if(hash.count(r)) ret += hash[r]; // 统计结果
 hash[r]++;
 }
 return ret;
 }
};

Java 算法代码：

class Solution {
 public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
 Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<Integer, Integer>();
 hash.put(0 % k, 1);//前缀和为0时
 int sum = 0, ret = 0;
 for(int x : nums)
 {
 sum += x; // 计算当前位置的前缀和
 int r = (sum % k + k) % k;
 ret += hash.getOrDefault(r, 0); // 统计结果
 hash.put(r, hash.getOrDefault(r, 0) + 1);
 }
 return ret;
 }
}