为什么 LoRA 梯度是建立在全量参数 W 的梯度之上

🧠 首先搞清楚 LoRA 是怎么做微调的

我们原来要训练的参数矩阵是 $W$，但 LoRA 说：

别动 W，我在它旁边加一个低秩矩阵 $\Delta W=UV$，只训练这个部分！

也就是说，LoRA 用一个新的权重矩阵：

$$W^{\prime }=W+UV$$

只训练 $U$ 和 $V$，$W$ 不动。

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📦 所以前向传播其实用的是：

$$\text{模型输入}x⟶W^{\prime }x=Wx+UVx⟶\text{输出}⟶\mathcal{L}$$

在这个过程中，损失函数 $\mathcal{L}$ 是基于 $W+UV$ 来计算的。

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🔁 反向传播的时候怎么求梯度？

LoRA 要训练的是 $U$ 和 $V$，所以我们要算：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial U}\text{和}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V}$$

但问题是：损失函数 $\mathcal{L}$ 不是直接依赖 $U$ 和 $V$，而是依赖 $UV$

所以要用链式法则，先对 $UV$ 求导，然后传播回 $U$、$V$。而对UV求导等价于对$W$求导

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✅ 关键点来了

我们记：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W}=G$$

这个 $G$ 就是“如果我们在做全量微调，该怎么更新 $W$ 的梯度”。

LoRA 说：

“虽然我不更新 $W$，但我要更新的是 $UV$。所以我也可以用这个 $G$ 来指导我怎么更新 $U$ 和 $V$。”

于是我们得到：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial U}=G{V}^{\top },\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V}=U^{\top }G$$

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LoRA 的梯度建立在 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W}$ 上， 是因为它相当于“用低秩矩阵 $UV$ 来代替全量的参数更新”， 所以梯度传播也必须从 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W}$ 开始。
LoRA 往往只是显存不足的无奈之选，因为一般情况下全量微调的效果都会优于 LoRA，所以如果算力足够并且要追求效果最佳时，请优先选择全量微调。
使用 LoRA 的另一个场景是有大量的微型定制化需求，要存下非常多的微调结果，此时使用 LoRA 能减少储存成本。

🔍 为什么

为什么 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W}$，就是对 $UV$ 的梯度？

换句话说：LoRA 中的 $W^{\prime }=W+UV$，那我们训练时不是更新 $W$，只更新 $UV$，那为什么还能用 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W}$ 来指导 $U$ 和 $V$ 的更新呢？

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✅ 答案是：因为前向传播中 $W+UV$ 是一起作为整体参与运算的

所以：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (W+UV)}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (UV)}$$

这是因为：

• 我们的模型使用的是 $W+UV$
• 所以损失函数 $\mathcal{L}$ 是以 $W+UV$ 为输入计算出来的
• 那么对 $W$ 求导，其实是对这个整体求导
• 而因为 $W$ 是固定的（不训练，看作常数），所以梯度全部由 $UV$ 来承接

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• 本来我们应该更新 $W$：
  $$W\leftarrow W-\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W}$$
• 现在我们不动 $W$，让 $UV$ 来“做这个事情”：
  $$W+UV\leftarrow W+UV-\eta \cdot \left(\text{LoRA方向上的梯度}\right)$$

所以如果要算 $UV$ 的导数，就是算 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W}$