CSP-J/S冲奖第22天：时间复杂度
应粉丝要求出本期
一、为什么需要时间复杂度？
1.1 程序性能的度量
- 问题：如何衡量不同算法的效率？
// 示例1：求1+2+...+n int sum1(int n) { // 时间复杂度 O(n) int total = 0; for(int i=1; i<=n; i++) total += i; return total; } int sum2(int n) { // 时间复杂度 O(1) return n*(n+1)/2; } -
结论：
sum2比sum1更高效（尤其当n很大时）
1.2 时间复杂度的定义
-
定义：算法执行时间随输入规模增长的增长率
- 特点：
-
关注最坏情况下的时间消耗
-
忽略常数项和低阶项（关注增长趋势）
-
使用大O表示法（如 O(n²)）
-
二、大O表示法核心规则
2.1 常见时间复杂度
| 复杂度 | 名称 | 示例代码 |
|---|---|---|
| O(1) | 常数复杂度 | 直接访问数组元素 |
| O(log n) | 对数复杂度 | 二分查找 |
| O(n) | 线性复杂度 | 遍历数组 |
| O(n log n) | 线性对数复杂度 | 快速排序 |
| O(n²) | 平方复杂度 | 双重循环（冒泡排序） |
| O(2ⁿ) | 指数复杂度 | 暴力破解子集问题 |
| O(n!) | 阶乘复杂度 | 全排列问题 |
2.2 计算步骤
-
确定输入规模（n）
-
统计基本操作的执行次数
-
保留最高阶项，去掉系数
示例：
for(int i=0; i<n; i++) { // n次
for(int j=0; j<n; j++) // n次
cout << i+j; // 基本操作
}
// 总次数：n*n = n² → O(n²)
三、C++代码复杂度分析
3.1 典型代码模式
1. 单循环
for(int i=0; i<n; i++) { // O(n)
// 常数时间操作
}
2. 双重循环
for(int i=0; i<n; i++) { // O(n²)
for(int j=0; j<n; j++) {
// 常数时间操作
}
}
3. 递归
int factorial(int n) { // O(n)
if(n <= 1) return 1;
return n * factorial(n-1);
}
3.2 复杂度陷阱
错误示例：
// 计算斐波那契数列（低效版）
int fib(int n) { // O(2ⁿ)
if(n <= 1) return n;
return fib(n-1) + fib(n-2);
}
优化方案：
int fib(int n) { // O(n)
int a = 0, b = 1;
for(int i=2; i<=n; i++) {
int c = a + b;
a = b;
b = c;
}
return b;
}
四、复杂度对比实验
4.1 不同复杂度的增长趋势
| n | log n | n | n log n | n² | 2ⁿ |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 3 | 10 | 30 | 100 | 1024 |
| 100 | 6 | 100 | 600 | 10^4 | 1.27e30 |
| 1000 | 9 | 1000 | 9000 | 10^6 | 1e301 |
4.2 实际运行时间对比
#include <iostream>
#include <chrono>
using namespace std;
// O(n) 算法
void linear(int n) {
for(int i=0; i<n; i++);
}
// O(n²) 算法
void quadratic(int n) {
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++);
}
int main() {
int n = 10000;
auto start = chrono::high_resolution_clock::now();
linear(n);
auto end = chrono::high_resolution_clock::now();
cout << "O(n) 耗时："
<< chrono::duration_cast<chrono::milliseconds>(end - start).count()
<< " ms" << endl;
start = chrono::high_resolution_clock::now();
quadratic(n);
end = chrono::high_resolution_clock::now();
cout << "O(n²) 耗时："
<< chrono::duration_cast<chrono::milliseconds>(end - start).count()
<< " ms" << endl;
}
输出示例：
O(n) 耗时：0 ms
O(n²) 耗时：45 ms
五、复杂度优化技巧
5.1 优化策略
-
减少嵌套循环：用数学公式替代多重循环
-
提前终止：利用break/continue减少不必要的循环
-
空间换时间：使用哈希表（O(1)查找）
-
算法选择：优先选择低复杂度算法（如快速排序 vs 冒泡排序）
5.2 案例分析
问题：查找数组中是否存在重复元素
低效方案：
bool containsDuplicate(vector<int>& nums) { // O(n²)
for(int i=0; i<nums.size(); i++)
for(int j=i+1; j<nums.size(); j++)
if(nums[i] == nums[j]) return true;
return false;
}
优化方案：
bool containsDuplicate(vector<int>& nums) { // O(n)
unordered_set<int> s;
for(int num : nums) {
if(s.count(num)) return true;
s.insert(num);
}
return false;
}
六、实战练习
6.1 基础题
题目：分析以下代码的时间复杂度
for(int i=0; i<n; i++) {
for(int j=0; j<i; j++) {
cout << "Hello";
}
}
答案：O(n²)（等差数列求和：1+2+...+n-1 = n(n-1)/2）
6.2 进阶题
题目：优化以下代码的复杂度
// 原始版本：O(n³)
int countTriplets(vector<int>& arr) {
int count = 0;
for(int i=0; i<arr.size(); i++)
for(int j=i+1; j<arr.size(); j++)
for(int k=j+1; k<arr.size(); k++)
if(arr[i] + arr[j] + arr[k] == 0)
count++;
return count;
}
优化思路：
-
先排序（O(n log n)）
-
固定第一个元素，双指针查找后两个元素（O(n²)）
七、复杂度速查表
| 算法类型 | 时间复杂度 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 二分查找 | O(log n) | 有序数据查找 |
| 深度优先搜索 | O(n) | 树/图遍历 |
| 快速排序 | O(n log n) | 通用排序 |
| Dijkstra算法 | O((V+E) log V) | 最短路径（稀疏图） |
| Floyd-Warshall | O(n³) | 所有节点间最短路径 |
课后作业：
-
分析插入排序的时间复杂度（最好/最坏/平均）
-
比较冒泡排序和选择排序的复杂度差异
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实现一个O(n log n)的排序算法（如归并排序）