[动规19] 最大子数组和

目录

1. 题意

2. 思路

2.1. 状态表示

2.2. 状态转移方程

2.3. 初始化

2.4. 填表顺序

2.5. 返回值

3. 编码

---

1. 题意

链接: 53. 最大子数组和 - 力扣（LeetCode）

题目

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• -104 <= nums[i] <= 104

进阶：如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

子数组:

2. 思路

2.1. 状态表示

dp[i]: 以 i 位置为结尾, 所有子数组中的最大和.

2.2. 状态转移方程

要分析状态转移方程, 我们先聚焦于一个 dp[i] 位置来进行分析:

整体可以分为两类:

• 长度 == 1
• 长度 > 1

所以, 我们的 dp[i] = max(nums[i], nums[i] + dp[i-1]).

2.3. 初始化

因为我们的 dp[i] 依赖 dp[i-1], 因此我们需要初始化 dp[0], 下面提供两种思路:

方式 1: 初始化 dp[0] = nums[0]

方式 2: 添加虚拟节点, dp[0] = 0;// 虚拟节点 -> 不过需要注意下标的映射关系.

2.4. 填表顺序

从左到右(这是状态转移方程所决定的).

2.5. 返回值

返回以 i 位置为结尾的子数组的最大值

for(int i = 0; i < n; i++)
{
    ret = max(dp[i], ret);
}

return ret;

3. 编码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) 
    {
        // dp[i]表示: 以i位置为结尾, 最大的一个子数组之和
        // 1. 创建dp表
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n+1, 0);
        // 2. 初始化
        // 3. 赋值
        int m = INT_MIN;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            dp[i] = max(nums[i-1], dp[i-1] + nums[i-1]);
            if(dp[i] > m) m = dp[i];
        }

        // 4. 返回
        return m;
    }
};

注意点:

1. 略.