当前位置：首页 > news >正文

【算法】快速幂

news 来源：原创 2025/6/20 10:16:48

一、概念

快速幂是一种高效的指数运算，当指数范围过大时，通过位运算能够减少大量的计算次数

对于 $a^{b}$ ，我们通过将指数b转化为二进制数，就可以将 $a^{b}$ 分解为许多的 $a^{2^{i}}$ （其中i是指数b中对应位为1的位数）

例如 $a^{13}$ ，我们可以将13转化为二进制的1101，然后就可以将 $a^{13}$ 分解为：

$a^{2^{0}}*a^{2^{2}}*a^{2^{3}}=a^{1}*a^{4}*a^{8}=a^{13}$

二、例题

2.1 快速幂

875. 快速幂 - AcWing题库

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

int n;

signed main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < n; i++)
    {
        int a, b, p;
        cin >> a >> b >> p;
        int res = 1;
        while(b) //将b转二进制数，按位乘以对应的值
        {
            if(b & 1) //对应位为1
                res = res * a % p;
            a = a * a % p;
            b >>= 1; 
        }
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

2.2 快速幂求逆元

876. 快速幂求逆元 - AcWing题库

关于乘法逆元的定义：

前提：

整数b，m互质
整数a满足b能够整除a

结论：若存在整数x满足 $\frac{a}{b}\equiv a*x(mod m)$ ，即 $\frac{a}{b}$ 和 $a*x$ 对模数m同余，则x是b的逆元，记为 $b^{-1}$

拓展——费马小定理：当模数m为质数时， $b^{m-2}$ 就是b的乘法逆元

可以看到题中模数p是质数，所以我们可以使用费马小定理求a模p的乘法逆元，就是 $a^{p-2}$

但是p的范围很大，因此我们需要用快速幂

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

int n;

signed main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < n; i++)
    {
        int a, p;
        cin >> a >> p;
        if(a % p == 0) //不互质
            cout << "impossible" << endl;
        else
        {
            int t = p - 2; //费马小定理
            int res = 1;
            while(t) //快速幂
            {
                if(t & 1)
                    res = res * a % p;
                a = a * a % p;
                t >>= 1;
            }
            cout << res << endl;
        }
    }
    return 0;
}