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第三章: 神经网络原理详解与Pytorch入门
第一部分：神经网络算法理论详解与实践
第一节：神经网络预备知识
内容：线性代数、微积分、概率等相关数学基础
神经网络作为一种复杂的机器学习模型，其背后依赖于大量数学知识。本节介绍神经网络所需的三类核心数学基础：线性代数、微积分、概率统计。
一、线性代数基础
【机器学习】机器学习中用到的高等数学知识-1.线性代数 (Linear Algebra)_机器学习的数学-CSDN博客
神经网络中几乎所有计算都基于向量与矩阵运算，理解这些是掌握神经网络的前提。
1. 向量与矩阵运算
| 概念 | 表达 | 示例 |
|---|---|---|
| 向量加法 | [1,2] + [3,4] = [4,6] | |
| 数乘 | 2⋅[1,3] = [2,6] | |
| 矩阵乘法 | A⋅B |
神经元的前向传播过程本质上就是矩阵-向量乘法 + 偏置项 + 激活函数。
2. 常用矩阵操作
-
转置：
-
点积（内积）：衡量两个向量方向相似性
-
范数：
，表示向量长度
二、微积分基础
【机器学习】机器学习中用到的高等数学知识-3.微积分 (Calculus)_机器学习里的梯度是曲面积分吗-CSDN博客
神经网络的学习过程本质是一个最优化问题，需要使用微积分来求导和更新参数。
1. 导数的含义
-
表示函数变化率（斜率）
-
神经网络中用于计算损失函数对权重的梯度
2. 常用函数导数
| 函数 | 表达式 | 导数 |
|---|---|---|
| Sigmoid | ||
| ReLU | max(0, x) | 0（x<0）, 1（x>0） |
| tanh | tanh(x) |
3. 链式法则（Chain Rule）
多层神经网络需要链式求导：
这就是反向传播（Backpropagation）的数学基础。
三、概率与统计基础
【机器学习】机器学习中用到的高等数学知识-2.概率论与统计 (Probability and Statistics)_probability and statistics for machine learning-CSDN博客
神经网络中使用概率建模不确定性，尤其在分类任务中表现显著。
1. 概率分布
| 类型 | 分布函数 | 典型用途 |
|---|---|---|
| 伯努利分布 | 0/1 分类 | 二分类输出概率 |
| 高斯分布 | 权重初始化、损失建模 | |
| 多项式分布 | 多分类问题 | Softmax 输出 |
2. 条件概率与贝叶斯
-
条件概率：
-
贝叶斯定理：常用于更新信念，是生成模型、变分推断的基础。
3. 期望与方差
| 名称 | 定义公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 数学期望 | 平均值 | |
| 方差 | 分布广度 |
四、数学与神经网络结构的关系总结
| 数学基础 | 在神经网络中的应用 |
|---|---|
| 线性代数 | 神经元运算、权重矩阵更新、卷积运算 |
| 微积分 | 反向传播、梯度下降、激活函数优化 |
| 概率统计 | 分类输出建模、损失函数设计、贝叶斯深度学习 |
小结
-
神经网络学习依赖：线性变换 + 非线性激活 + 损失优化 + 梯度更新
-
掌握这些数学概念，有助于理解神经网络训练过程中的每一步。
拓展阅读
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