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        最近在复习考研数学,只是简单做题过于乏味,因此便总结了一些笔记,后续若有空,也会将自己的复习笔记分享出来。本篇，我们将重点讲解拉格朗日中值定理在求解函数极限中的应用。同时,作者本人作为python领域创作者，还将在本文分享使用sympy求解高数中函数极限的方法,自此,日后的学习中除了desmos绘制图像外,我们又多了一个来验算我们求解极限结果是否正确的工具了。

目录

极限考点

函数极限求解技巧

拉格朗日中值定理回顾

拉格朗日中值定理拓展到化简函数极限

常见误区

例题

f'(ξ)极限结果=0,需要考虑替换为x后等价无穷小或泰勒公式求解:

f'(ξ)极限结果=C(C≠0),直接带入 

f'(ξ)极限结果=无穷,需要考虑替换为x后等价无穷小或泰勒公式求解:

 无法使用拉格朗日中值定理化简情形

总结

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极限考点

          就一元函数极限来说,其在数一中常见的考点如下:

        其中,无论是数列还是函数,极限值的求解往往是每年必出的题目。

函数极限求解技巧

1. 函数极限性质

2. 重要极限

3. 等价无穷小

4. 洛必达法则

5. 拉格朗日中值定理

6. 泰勒公式

        这里要说明的是，在求解极限时，根据自变量的取值,我们可以将其分为：自变量趋于无穷大的极限,自变量趋于0的极限以及自变量趋于有限值x0的极限这三类。但是，实际上这三类在数一函数极限考察的范围内，最后统统都可以转换为自变量趋于0的极限。

 

        这是因为函数极限的求解中只有当自变量x趋于0时，泰勒公式才可以使用。而泰勒公式又是上边六种方法中的重点考察对象。毫不夸张地说，整个高数上册的极限都是围绕它所展开,实际上，数一中的函数极限题目，只要你愿意，没有什么是泰勒展开一下解决不了的。

拉格朗日中值定理回顾

拉格朗日中值定理: 

                设在闭区间上连续,在开区间内可导,则至少存在一点 

        使 .

说明

        拉格朗日中值定理的几何意义实际上就是若连续曲线，在点,之间的每一点处都有不垂直于x轴的切线(函数在开区间内可导),则曲线在A,B之间至少存在一点使得该点处的切线与割线AB平行,即二者斜率相等。

拉格朗日中值定理拓展到化简函数极限

        设三函数都满足拉格朗日中值定理成立条件,那么：

        其中,介于与之间。 

        注意,若，C为任意不为0常数，那么直接将其替换为C即可。 

        若且或,那么可以看做关于x的函数,接着使用等价无穷小或泰勒公式展开来计算其结果。

        以上便是拉格朗日定理求解函数极限的精髓。这里要注意的是，拉格朗日中值定理主要用来化简极限，并不能直接求解极限。

常见误区

     在使用拉格朗日中值定理'化简'极限时，有三个坑要避开,主要集中在:

1. 原极限形式上不满足能够使用拉格朗日中值定理的样式。
2. 极限结果为0或无穷时的处理方法。
3. g(x)与h(x)不能为同一个函数的简单线性变换,比如g(x)=2x,h(x)=x。

例题

        例子是最好的学习工具，接下来我将分享四道题目来阐明这一定理的常见误区,并给出每一步的详细结果。最后，我们还将使用python中的sympy库来求解上述四道极限题目来验证我们求解结果正确与否。

f'(ξ)极限结果=0,需要考虑替换为x后等价无穷小或泰勒公式求解:

1.  

解： 原式=

其中

        原式=

其中,介于与之间

即

        原式=

sympy验证:

import sympy as sp
'''
sp.limit()函数参数详解:
e:极限表达式,使用定义过的变量和sp.函数名来书写
z:极限自变量
z0:极限自变量趋于的值
dir:左极限还是右极限,用'+','-'表示
'''
#定义x与y这两个符号变量
x=sp.Symbol('x')
y=sp.Symbol('y')
#极限表达式
expression=(sp.cos(sp.sin(x))-(sp.cos(x)))/(x**4)
print(f'原式极限={sp.limit(e=expression,z=x,z0=0)}')#使用sp.limit求解

结果:

f'(ξ)极限结果=C(C≠0),直接带入 

        2.

         原式=

        原式=

原式= 

        原式=

        原式=

其中,介于与之间

即 

        原式=

        原式=

 sympy验证

import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
sp.init_printing()#latex格式,分数输出后更好看一些
expressions=(sp.exp(x**2)-sp.exp(2-2*sp.cos(x)))/x**4
result=sp.limit(expressions,x,0)
result

结果：

f'(ξ)极限结果=无穷,需要考虑替换为x后等价无穷小或泰勒公式求解:

3.

错误做法：

        注意到分子上的函数形式上应为幂函数,且

        原式= 

        原式=

其中，

        原式=

其中,介于与之间

即

        原式==

正确做法: 原式=

        原式=

                原式=

                原式=

                原式=

其中, 介于与之间

即

                原式= 

                原式=

sympy验证: 

import sympy as sp
sp.init_printing()
x=sp.Symbol('x')
expression=(x**x-sp.sin(x)**x)/(x**2*sp.atan(x))
result=sp.limit(expression,x,0)
result

结果 

错误做法错在过早的使用拉格朗日中值定理化简极限表达式,导致极限结果难于化简变形。

 无法使用拉格朗日中值定理化简情形

4.

错误做法:

        原式=

其中,介于与之间

即

        原式==-1

正确做法:

        洛必达:

                原式=

                原式=

                原式=

        等价无穷小: 

               原式=  

               原式=

               原式=

sympy验证:

import sympy as sp
sp.init_printing()
x=sp.Symbol('x')
expression=(sp.cos(2*x)-sp.cos(x))/(x**2)
result=sp.limit(expression,x,0)
result

 结果：

 出现这种错误的原因我们前边提到过,f{x)内部嵌套的函数g(x)与h(x)不能为同一类型函数的线性变换,如果直接使用,极有可能出错！

总结

        以上便是使用拉格朗日中值定理化简极限时所有需要注意的地方，看完这篇文章，我相信你又将掌握一个求极限的利器。