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动态规划与滚动数组优化：LeetCode 1137.第 N 个泰波那契数
1. 题目链接
LeetCode 1137. 第 N 个泰波那契数
题目要求：计算第 n 个泰波那契数（Tribonacci Number）。泰波那契数列的定义如下：
T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2（当n ≥ 0时）
2. 题目描述
- 输入：整数
n（例如n = 4）。 - 输出：第
n个泰波那契数（例如T4 = 4）。 - 约束条件：
0 ≤ n ≤ 37- 结果保证在 32 位整数范围内（即
≤ 2^31 - 1）。
3. 示例分析
示例 1：
输入：n = 4
输出：4
分步计算：
T0 = 0T1 = 1T2 = 1T3 = T0 + T1 + T2 = 0 + 1 + 1 = 2T4 = T1 + T2 + T3 = 1 + 1 + 2 = 4
示例 2：
输入：n = 25
输出：1389537
4. 算法思路
动态规划与滚动数组优化
-
问题特性：
- 泰波那契数的递推公式依赖前三个状态，适合用动态规划解决。
- 直接递归会重复计算子问题（时间复杂度
O(3^n)），需优化。
-
动态规划递推：
- 定义状态
dp[i]表示第i个泰波那契数。 - 递推公式：
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]。
- 定义状态
-
滚动数组优化：
- 观察发现，计算
dp[i]仅需前三个值dp[i-1]、dp[i-2]、dp[i-3]。 - 用三个变量
dp1、dp2、dp3代替数组，空间复杂度从O(n)降为O(1)。
- 观察发现，计算
具体步骤
- 初始化：
T0 = 0,T1 = 1,T2 = 1。
- 递推计算：
- 从
i = 3到n，依次更新当前值tn = dp1 + dp2 + dp3。 - 滚动更新变量：
dp1 = dp2,dp2 = dp3,dp3 = tn。
- 从
5. 边界条件与注意事项
-
边界处理：
n = 0时直接返回0。n = 1或n = 2时直接返回1。
-
变量初始化顺序：
dp1、dp2、dp3分别对应T0、T1、T2。
-
循环范围：
- 若
n < 3，直接返回初始值，无需进入循环。
- 若
-
整数溢出问题：
- 题目保证结果在 32 位整数范围内，无需额外处理。
-
时间复杂度：
O(n)，遍历n-2次。
6. 代码实现与逐行解析
class Solution {
public:int tribonacci(int n) {if (n == 0) return 0; // 边界条件：T0 = 0if (n == 1 || n == 2) return 1; // 边界条件：T1=T2=1// 初始化滚动数组（对应 T0, T1, T2）int dp1 = 0, dp2 = 1, dp3 = 1, tn = 0;for (int i = 3; i <= n; i++) {tn = dp1 + dp2 + dp3; // 计算当前值 T_i// 滚动更新：dp1 -> T_{i-2}, dp2 -> T_{i-1}, dp3 -> T_idp1 = dp2;dp2 = dp3;dp3 = tn;}return tn; // 返回 T_n}
};
代码解析
-
边界处理：
n = 0、n = 1、n = 2直接返回预定义值。
-
变量初始化：
dp1 = 0（对应T0），dp2 = 1（对应T1），dp3 = 1（对应T2）。
-
循环递推：
- 从
i = 3开始，计算tn = dp1 + dp2 + dp3（即T_i）。 - 更新变量：
dp1更新为原来的dp2（即T_{i-2} = T_{i-1}）。dp2更新为原来的dp3（即T_{i-1} = T_i）。dp3更新为tn（即T_i）。
- 从
-
返回值：
- 循环结束时，
tn即为T_n。
- 循环结束时，
总结
通过滚动数组优化，将动态规划的空间复杂度从 O(n) 降至 O(1)，同时保持了时间效率。该算法高效解决了泰波那契数的计算问题，适用于大规模 n 的场景（尽管题目约束 n ≤ 37）。此方法可推广至其他类似递推问题（如斐波那契数列、爬楼梯问题等），核心在于识别状态依赖关系并优化空间使用。