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哈希表与哈希算法：原理、实现与优化

1. 哈希表基础原理

哈希表（Hash Table）是一种基于键值对（key-value）存储数据的数据结构，它通过计算键的哈希值来确定数据在内存中的存储位置，从而实现O(1)平均时间复杂度的插入、查找和删除操作。

1.1 哈希表的核心组件

1. 哈希函数：将任意大小的输入数据映射到固定大小的输出（哈希值）
2. 哈希桶（数组）：存储数据的实际容器
3. 冲突解决机制：处理不同键映射到相同位置的情况

1.2 哈希表的基本原理

哈希表通过以下步骤存储和检索数据：

1. 通过哈希函数计算键的哈希值
2. 将哈希值映射到哈希桶的索引位置
3. 在该位置存储或检索数据
4. 如果发生冲突，使用冲突解决策略处理

2. 哈希函数设计

哈希函数是哈希表性能的关键因素，一个好的哈希函数应该具备以下特性：

1. 高效计算：计算速度快
2. 均匀分布：不同输入产生的哈希值均匀分布在整个输出范围内
3. 确定性：相同的输入总是产生相同的输出
4. 雪崩效应：输入的微小变化会导致输出的显著变化

2.1 常见的哈希函数

2.1.1 整数哈希

对于整数类型的键，常用的哈希函数包括：

// 简单的取模哈希函数
size_t hash_mod(int key, size_t table_size) {return key % table_size;
}// 乘法哈希函数（Knuth推荐）
size_t hash_multiply(int key, size_t table_size) {const double A = 0.6180339887; // (sqrt(5) - 1) / 2double val = key * A;val = val - floor(val);return floor(val * table_size);
}

2.1.2 字符串哈希

对于字符串类型的键，几种经典哈希算法：

// BKDR哈希算法
size_t BKDRHash(const char* str, size_t table_size) {unsigned int seed = 131; // 31, 131, 1313, 13131... 都是不错的选择unsigned int hash = 0;while (*str) {hash = hash * seed + (*str++);}return hash % table_size;
}// FNV哈希算法
size_t FNVHash(const char* str, size_t table_size) {const unsigned int FNV_PRIME = 16777619;const unsigned int OFFSET_BASIS = 2166136261;unsigned int hash = OFFSET_BASIS;while (*str) {hash ^= *str++;hash *= FNV_PRIME;}return hash % table_size;
}// Jenkins哈希算法（one-at-a-time）
size_t JenkinsHash(const char* str, size_t table_size) {unsigned int hash = 0;while (*str) {hash += *str++;hash += (hash << 10);hash ^= (hash >> 6);}hash += (hash << 3);hash ^= (hash >> 11);hash += (hash << 15);return hash % table_size;
}

2.2 选择哈希表大小

哈希表的大小也是影响性能的重要因素。通常，选择质数作为哈希表大小可以减少冲突：

// 检查一个数是否为质数
bool isPrime(int n) {if (n <= 1) return false;if (n <= 3) return true;if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return false;for (int i = 5; i * i <= n; i += 6) {if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return false;}return true;
}// 找到大于n的下一个质数
int nextPrime(int n) {if (n <= 1) return 2;int prime = n;bool found = false;while (!found) {prime++;if (isPrime(prime)) found = true;}return prime;
}

3. 冲突解决策略

哈希冲突是指不同的键通过哈希函数计算后得到相同的哈希值。解决冲突的主要策略有两种：开放寻址和链式寻址。

3.1 链式寻址（Chaining）

链式寻址使用链表存储映射到同一位置的所有元素：

1. 每个哈希桶维护一个链表
2. 发生冲突时，将新元素添加到链表中
3. 查找时，遍历链表找到目标元素

优点：

• 实现简单
• 对负载因子不敏感
• 插入操作不受表大小限制

缺点：

• 需要额外的内存存储链表
• 可能导致缓存不友好
• 搜索时间与链表长度相关

3.2 开放寻址（Open Addressing）

开放寻址在冲突发生时，通过某种探测序列查找下一个可用位置：

3.2.1 线性探测（Linear Probing）

冲突发生时，按顺序检查下一个位置：

size_t linear_probe(size_t hash, size_t i, size_t table_size) {return (hash + i) % table_size;
}

优点：

• 缓存友好
• 内存利用率高

缺点：

• 容易造成聚集（clustering）
• 负载因子增大时性能下降明显

3.2.2 二次探测（Quadratic Probing）

使用二次方程确定探测序列：

size_t quadratic_probe(size_t hash, size_t i, size_t table_size) {return (hash + i*i) % table_size;
}

优点：

• 减少了聚集问题
• 比线性探测性能更稳定

缺点：

• 可能无法探测表中所有位置

3.2.3 双重哈希（Double Hashing）

使用第二个哈希函数确定步长：

size_t double_hash(size_t hash1, size_t hash2, size_t i, size_t table_size) {return (hash1 + i * hash2) % table_size;
}

优点：

• 消除二次聚集
• 提供更均匀的探测序列

缺点：

• 计算开销略大

4. 哈希表的C++实现

以下是使用链式寻址实现的哈希表：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <string>
#include <functional>template<typename K, typename V>
class HashMap {
private:// 哈希表的桶，每个桶是一个链表std::vector<std::list<std::pair<K, V>>> buckets;size_t size_;size_t capacity_;double load_factor_threshold_;// 哈希函数size_t hash(const K& key) const {return std::hash<K>{}(key) % buckets.size();}// 重新哈希void rehash() {size_t new_capacity = nextPrime(capacity_ * 2);std::vector<std::list<std::pair<K, V>>> new_buckets(new_capacity);for (const auto& bucket : buckets) {for (const auto& pair : bucket) {size_t bucket_idx = std::hash<K>{}(pair.first) % new_capacity;new_buckets[bucket_idx].push_back(pair);}}buckets = std::move(new_buckets);capacity_ = new_capacity;}// 查找大于n的