制作网站免费建站新品手机发布会一览表

只出现一次的数字

问题描述

给定一个非空整数数组 nums，其中除了一个元素只出现一次外，其余每个元素均出现两次。要求找出那个只出现一次的元素。算法需要满足线性时间复杂度 (O(n)) 和常数空间复杂度 (O(1))。

示例

1. 输入：nums = [2, 2, 1]
   输出：1

2. 输入：nums = [4, 1, 2, 1, 2]
   输出：4

3. 输入：nums = [1]
   输出：1

约束条件

• 数组长度范围：1 <= nums.length <= 3 * 10^4
• 数组元素范围：-3 * 10^4 <= nums[i] <= 3 * 10^4

解题思路

本题的关键在于如何在不使用额外存储空间的情况下，快速找出只出现一次的数字。以下是几种可能的解法及其优缺点分析：

方法一：暴力解法（不满足要求）

1. 使用集合存储数字
   遍历数组中的每个数字，如果集合中没有该数字，则将其加入集合；如果集合中已有该数字，则将其从集合中删除。最后剩下的数字即为只出现一次的数字。
   缺点：需要额外的 (O(n)) 空间。

2. 使用哈希表存储次数
   使用哈希表记录每个数字出现的次数，最后遍历哈希表找到只出现一次的数字。
   缺点：同样需要额外的 (O(n)) 空间。

3. 数学方法（集合和数组和的关系）
   计算数组中所有元素的和，以及集合中所有元素的和的两倍。由于集合中元素无重复，因此两倍的集合和减去数组和，即为只出现一次的数字。
   缺点：需要额外的 (O(n)) 空间。

方法二：位运算（最优解）

利用异或运算的性质，可以实现线性时间复杂度和常数空间复杂度的解法。

异或运算的性质

1. 任何数与 0 异或，结果仍然是该数：
   
   ( a \oplus 0 = a )
2. 任何数与自身异或，结果为 0：
   
   ( a \oplus a = 0 )
3. 异或运算满足交换律和结合律：
   
   ( a \oplus b \oplus a = b \oplus (a \oplus a) = b \oplus 0 = b )

解题步骤

假设数组中有 ( 2m + 1 ) 个数，其中 ( m ) 个数各出现两次，一个数出现一次。令 ( a_1, a_2, \dots, a_m ) 为出现两次的数，( a_{m+1} ) 为只出现一次的数。根据异或运算的性质，数组中所有元素的异或结果可以表示为：

[
(a_1 \oplus a_1) \oplus (a_2 \oplus a_2) \oplus \dots \oplus (a_m \oplus a_m) \oplus a_{m+1}
]

根据性质 2 和性质 1，上式可以化简为：

[
0 \oplus 0 \oplus \dots \oplus 0 \oplus a_{m+1} = a_{m+1}
]

因此，数组中所有元素的异或结果即为只出现一次的数字。

总结

本题通过利用异或运算的性质，巧妙地实现了线性时间复杂度和常数空间复杂度的解法。这种方法不仅高效，而且简单易懂，是解决类似问题的经典思路。这题只要知道，两个数异或得到0，0与任何数异或得到自己，1与任何数异或得到反数。