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题解：P8667 [蓝桥杯 2018 省 B] 递增三元组
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一、题目描述
给定三个整数数组 A、B、C，每个数组包含 N 个元素。要求统计满足 A[i] < B[j] < C[k] 的三元组 (i, j, k) 的数量。
二、题目分析
我们需要找到所有满足 A[i] < B[j] < C[k] 的三元组。直接暴力枚举三个数组的所有组合时间复杂度为 O(N³)，对于 N=1e5 的数据显然不可行。
三、解题思路
- 排序优化：先对数组 A 和 C 进行排序，这样可以利用二分查找快速统计满足条件的元素数量。
- 二分查找：对于每个 B[j]，在 A 中找到比它小的元素数量，在 C 中找到比它大的元素数量，然后将这两个数量相乘得到以该 B[j] 为中间值的所有有效三元组数量。
- 累计求和：将所有 B[j] 对应的有效三元组数量累加，得到最终答案。
四、算法讲解
- 排序：首先对数组 A 和 C 进行升序排序，以便后续的二分查找操作。
- 二分查找：
- 对于每个 B[j]，在 A 中使用二分查找找到最后一个小于 B[j] 的元素位置，该位置左边的元素都满足 A[i] < B[j]。
- 在 C 中使用二分查找找到第一个大于 B[j] 的元素位置，该位置右边的元素都满足 C[k] > B[j]。
- 组合计算：将每个 B[j] 对应的满足条件的 A 元素数量和 C 元素数量相乘，得到以该 B[j] 为中间值的所有有效三元组数量。
五、代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int a[N], b[N], c[N];// 暴力解法，时间复杂度 O(N³)，只能通过小数据
void solve1()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> b[i];for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> c[i];int cnt = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)for (int k = 1; k <= n; k++){if (a[i] < b[j] && b[j] < c[k])cnt++;}cout << cnt << "\n";
}// 自定义二分查找实现
int bifind_a(int x)
{int l = -1, r = n + 1;while ( l + 1 != r){int mid = l + r >> 1;if (a[mid] < x)l = mid;elser = mid;}if (a[l] < x) return l; // 返回小于x的元素个数else return 0;
}int bifind_c(int x)
{int l = -1, r = n + 1;while (l + 1 != r){int mid = l + r >> 1;if (c[mid] <= x)l = mid;elser = mid;}if (c[r] > x)return n - r + 1; // 返回大于x的元素个数elsereturn 0;
}// 使用自定义二分查找的优化解法
void solve2()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> b[i];for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> c[i];int cnt = 0;sort(a + 1, a + 1 + n); // 对A数组排序sort(c + 1, c + 1 + n); // 对C数组排序for (int i = 1; i <= n; i++){ int x = bifind_a(b[i]); // A中比b[i]小的元素个数int y = bifind_c(b[i]); // C中比b[i]大的元素个数cnt += x * y; // 累加组合数}cout << cnt << "\n";
}// 使用STL二分查找函数的优化解法
void solve3()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> b[i];for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> c[i];int cnt = 0;sort(a + 1, a + 1 + n); // 对A数组排序sort(c + 1, c + 1 + n); // 对C数组排序for (int i = 1; i <= n; i++){// 使用lower_bound找到第一个不小于b[i]的位置int x = lower_bound(a + 1, a + 1 + n, b[i]) - a - 1;// 使用upper_bound找到第一个大于b[i]的位置int y = n - (upper_bound(c + 1, c + 1 + n, b[i]) - c) + 1;cnt += x * y;}cout << cnt << "\n";
}signed main()
{ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);solve2(); // 推荐使用solve2或solve3return 0;
}
六、重点细节
- 数组排序：必须对 A 和 C 数组进行排序才能使用二分查找。
- 边界处理：在自定义二分查找时，要注意处理所有元素都满足或不满足条件的情况。
- 索引处理：使用 STL 的 lower_bound 和 upper_bound 时，要注意返回的是迭代器，需要减去数组首地址转换为索引。
- 数据类型：使用 long long 防止中间结果溢出。
七、复杂度分析
- 时间复杂度：
- 排序：O(N log N)
- 二分查找：对于每个 B[j] 进行两次二分查找，O(log N)，总共 O(N log N)
- 总时间复杂度：O(N log N)
- 空间复杂度：O(N)，仅需要存储三个数组。
八、总结
本题通过排序和二分查找将时间复杂度从 O(N³) 优化到 O(N log N)，是典型的利用排序和二分查找优化统计问题的例子。关键在于将三重循环分解为三个独立的一重循环，通过预处理（排序）和快速查询（二分）来大幅提升效率。